AMC 10 · 2023 · #3

학년 7 geometry-2d

area-circlesinteger-pythagorean-triplesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesinteger-pythagorean-triples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

3-4-5 직각삼각형이 원 A 에 내접하고, 5-12-13 직각삼각형이 원 B 에 내접합니다. (원 A 의 넓이)/(원 B 의 넓이) 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{9}{25}$

(B)

$frac{1}{9}$

(C)

$frac{1}{5}$

(D)

$frac{25}{169}$

(E)

$frac{4}{25}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 로 각 원에 직각삼각형을 빠르게 그려 보면 핵심이 한눈에 — 직각 꼭짓점이 원 위에 있고 빗변은 원 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 곧장 가로지릅니다. 따라서 빗변 = 지름. 그 사실이 보이는 순간 문제는 도구 #7 로 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다: (가) 각 지름 읽기, (나) 각 넓이를 지름으로 쓰기, (다) 비를 만들어 약분. 분수 제곱 한 번 외에는 무거운 대수가 필요 없습니다.

1STEP 1

원 A 에 3-4-5 삼각형을 그리면 빗변(가장 긴 변)이 원을 가로지르는 지름 — d_A = 5.

d_A = 5

2STEP 2

원 B 도 마찬가지 — 5-12-13 삼각형의 빗변이 가장 긴 변이므로 d_B = 13.

d_B = 13

3STEP 3

각 넓이를 π(d/2)² = πd²/4 로 쓰면 비에서 π 와 4 가 약분되어 (d_A/d_B)² 만 남음.

넓이_A/넓이_B = (π d_A²/4)/(π d_B²/4) = (d_A/d_B)²

4STEP 4

지름을 대입해 제곱: ( $\frac{5}{13}$ )² 이 비 $\frac{25}{169}$ → 선택지 (D).

(

\frac{5}{13}

)² =

\frac{25}{169}

→ (D)

정답

\frac{25}{169}

크기 점검. 지름 5 vs 지름 13 — 원 A 가 원 B 보다 훨씬 작으니 비는 1 보다 한참 작아야 함.

\frac{25}{169}

≈ 0.148 로 부합. 선택지 중

\frac{1}{4}

미만은 (B)

\frac{1}{9}

≈ 0.111, (C)

\frac{1}{5}

= 0.2, (D)

\frac{25}{169}

≈ 0.148, (E)

\frac{4}{25}

= 0.16 — 지름 비의 제곱과 정확히 맞는 것은 (D) 뿐.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요 — 직각삼각형의 빗변이 곧 원의 지름이므로, 넓이 비는 그냥 ( $\frac{5}{13}$ )² 입니다.