AMC 10 · 2023 · #7

학년 7 geometry-2d

rotation-isometryisosceles-triangleangle-sum-trianglesymmetry-argument identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

두 합동인 정사각형 ABCD 와 EFGH 가 중심 O 를 공유합니다. EFGH 는 ABCD 를 시계 방향으로 20° 회전한 결과입니다. ∠ EAB 의 크기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$24^{\circ}$

(B)

$35^{\circ}$

(C)

$30^{\circ}$

(D)

$32^{\circ}$

(E)

$20^{\circ}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림이 전부입니다. 도구 #1(그림 그리기)이 알려주는 것 — 공통 중심 O 를 찍고 선분 OA (대각선 AC 위), OE 를 더 그립니다. 그 한 번의 추가로 정점각 20° 인 이등변삼각형 △ OAE 가 모습을 드러냅니다 (OA = OE 가 회전 덕분에 자동). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 뒤를 받습니다 — 목표 ∠ EAB 를 ∠ OAE (이등변삼각형의 밑각) 에서 ∠ OAB (정사각형 꼭짓각의 반) 를 뺀 것으로 분해. 두 조각을 따로 구하고 빼면 끝. 대수는 필요 없고, 이등변삼각형 밑각, 삼각형 내각 합, 대각선의 꼭짓각 이등분 — 이 세 사실만 씁니다.

1STEP 1

공통 중심 O 와 선분 OA, OE 를 긋습니다 — 회전으로 OA = OE, △ OAE 는 정점각 ∠ AOE = 20° 인 이등변삼각형.

OA = OE, ∠ AOE = 20°

2STEP 2

△ OAE 의 내각 합과 같은 밑각 ∠ OAE = ∠ OEA 로부터 ∠ OAE = 80° 를 얻습니다.

2 · ∠ OAE + 20° = 180° → ∠ OAE =

\frac{160°}{2}

= 80°

3STEP 3

정사각형 대각선은 꼭짓각을 이등분하므로 OA 가 90° 를 반으로 갈라 ∠ OAB = 45°.

∠ OAB =

\frac{1}{2}

· 90° = 45°

4STEP 4

그림에서 E 는 반직선 AO 와 AB 사이에 있으므로 빼면 ∠ EAB = 80° - 45° = 35°, 정답 (B).

∠ EAB = 80° - 45° = 35° → (B)

정답

35^°

세 가지 점검. (1) 크기 어림: 20° 회전이라면 A 의 시선이 대각선 자리에서 살짝 비껴난 정도이므로 ∠ EAB 는 45° 보다 조금 작아야 — 35° 가 들어맞습니다. (2) 양 끝 점검: 회전이 0° 면 공식이 ∠ OAE - ∠ OAB = 90° - 45° = 45° — 정확히 ∠ CAB, 자연스러움. 회전이 90° (정확히

\frac{1}{4}

회전) 면 E = D 가 되어 ∠ EAB = 90° — 역시 일치. (3) 오답 식별: (E) 20° 는 회전각 그대로 두는 함정, (A) 24°, (C) 30°, (D) 32° 는 대각선 이등분을 빠뜨리거나 20° 를 2 로 나누는 등의 실수에서 나옵니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 각도 사실만 알면 풀 수 있어요 — 중심을 찍고 회전이 만들어 준 이등변삼각형을 찾아 밑각 80° 를 구한 다음, 정사각형 대각선이 꼭짓각을 반으로 가르는 45° 를 빼면 35°.