AMC 10 · 2024 · #19

학년 8 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

slope-interceptcoordinate-geometryratio-proportiongcdlogical-deduction caseworkidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: slope-interceptcoordinate-geometryratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 4 표를 만듭니다. 행은 기울기 종류 — 기울기 0, 0 이 아닌 유리수 기울기, 무리수 기울기. 열은 수직이 아닌 직선이 가질 수 있는 격자점의 개수 — 정확히 0, 정확히 1, 정확히 2, 2개 이상. 12 칸 각각에 대해 "그 기울기 종류의 어떤 직선이 정확히 그 개수만큼의 격자점을 가지는가?" 가능하면 "가능", 아니면 "불가능" 으로 채웁니다. "가능" 칸은 몇 개?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 격자 논리표

문제 자체가 3 × 4 격자를 내어 주므로 도구 #4(격자 논리표) 가 구조적으로 딱 맞습니다 — 행별로 표를 채우고 칸마다 규칙으로 도장 찍은 뒤 마지막에 ✓ 를 세는 흐름. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 표를 세 행으로 나누어 각 행에 공통 핵심 사실 한 줄 — 유리 기울기는 "격자점 1 개 → 무한히", 무리 기울기는 "격자점 ≤ 1" — 을 적용합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 유리 기울기 행의 보조정리에 쓰이는 직관: (x₀, y₀) 에서 정수 발걸음 (q, p) 마다 또 다른 격자점이 찍히는 기울어진 계단 그림.

1STEP 1

수직이 아닌 직선 위 격자점 두 개면 기울기 $\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}$ 는 유리수 — 무리 기울기는 격자점 최대 1 개.

m =

\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}

∈ Q → m 무리수면 격자점 ≤ 1

2STEP 2

유리 기울기 $\frac{p}{q}$ 는 격자점 하나를 지나면 정수 발걸음 (q, p) 마다 또 격자점 — 하나가 곧 무한히 많음.

(x₀ + kq, y₀ + kp) ∈ 직선 모든 k ∈ Z

3STEP 3

기울기 0 (y = b): 비정수 b → 0 개, 정수 b → 무한히, 1·2 는 불가; 1 행 가능: 2.

y = b: (0, 불가, 불가, ≥ 2) = (✓, ×, ×, ✓)

4STEP 4

0 이 아닌 유리 기울기: y = $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{3}$ 은 0, y = $\frac{2}{3}$ x 는 무한히, 가운데 열은 막힘; 2 행 가능: 2.

y =

\frac{p}{q}

x + b: (0, 불가, 불가, ≥ 2) = (✓, ×, ×, ✓)

5STEP 5

무리 기울기: y = √2 x + 0.5 는 0, y = √2 x 는 정확히 1, 2 이상은 불가; 3 행 가능: 2.

y = (무리수)x + b: (0, 1, 불가, 불가) = (✓, ✓, ×, ×)

6STEP 6

행별 합산: 2 + 2 + 2 = 6 개 가능 → (C).

가능 총합 = 2 + 2 + 2 = 6 → (C)

정답

완성된 표: [ & 0 & 1 & 2 & ≥ 2 ; 기울기 0 & ✓ & × & × & ✓ ; 유리 ( ≠ 0) & ✓ & × & × & ✓ ; 무리수 & ✓ & ✓ & × & × ] ✓ 가 정확히 6 개. "유리 기울기는 1 → ∞" 와 "무리 기울기는 ≤ 1" 두 구조 보조정리가 × 칸을 깔끔히 막고, 모든 ✓ 칸에는 이름 붙은 예시 직선이 있음. 답 (C) = 6 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년의 "두 격자점 사이 기울기는 유리수" 한 줄 규칙만 알면 풀려요 — 그 한 줄이 12 칸 중 9 칸을 즉시 닫고, 6 칸만 "가능" 으로 남습니다!

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