AMC 10 · 2025 · #19
학년 7 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
배열을 거대한 줄까지 전부 만드는 것은 너무 힘들다. 대신 패턴을 찾자. 먼저 줄의 합을 보면 깔끔한 2배 규칙을 따르므로, 전부 써 보지 않아도 목표 줄이 몇 번째인지 알 수 있다. 그다음에는 관심 있는 두 수, 즉 왼쪽에서 2번째와 3번째 수만 추적한다. 각 수는 바로 위의 몇 개 수에만 달려 있기 때문이다. 그 두 수는 각각 자기만의 간단한 패턴을 만들어, 짧은 계산으로 멀리 있는 줄에 닿는다.
몇 줄을 만들어 규칙 확인하기
규칙대로 1번째 줄 -1, 3, 1에서 -1, 2, 4, 1이, 다시 -1, 1, 6, 5, 1이 나와 그림과 정확히 맞는다.
작은 줄에 규칙을 먼저 써 보면 배열을 만드는 장치가 뚜렷해진다.
7.NS.A.1Solve An Easier Related Problem줄의 합은 2배씩, 그래서 몇 번째 줄인지 찾기
줄 합은 3, 6, 12로 2배씩 는다. 각 수가 아래 두 합에 쓰이고 양 끝은 상쇄되기 때문이다. 12,288은 13번째 줄.
각 수는 아래 두 합에 들어가고 양 끝은 상쇄되므로, 줄 합은 정확히 앞 줄의 두 배다.
각 수가 아래의 두 합에 들어가므로, 각 줄의 합은 윗줄의 두 배다.
▸ 왜?
각 항목이 두 자식에게 한 번씩 쓰이므로, 그 몫이 두 배가 된다.
▸ 왜?
줄마다 같은 배율을 곱하므로, 총합이 일정한 비의 줄을 이룬다.
2번째와 3번째 수만 추적하기
2번째 수를 a, 3번째 수를 b라 하자. 새 a = 앞줄 1번째+2번째, 새 b = 앞줄 2번째+3번째이고 a = 3, b = 1로 시작.
세 번째 수에 영향을 주는 것은 왼쪽 끝 근처 몇 개뿐이니, 그것들만 이름 붙이고 나머지는 무시한다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2번째 수는 줄마다 1씩 줄어든다
1번째 수가 늘 -1이라 2번째 수는 줄마다 1씩만 줄어 3, 2, 1, 0, -1, … 이 되니 n번째 줄에서는 4 빼기 n.
매번 고정된 -1을 더하는 것은 1씩 세어 내려가는 것과 같아 직선 패턴이 된다.
4.OA.C.5Look For A Pattern더해서 13번째 줄의 3번째 수에 닿기
b는 줄마다 2번째 수를 더해 가므로 13번째 줄은 1 + (4-k)의 k=1~12 합 = 1 - 30 = -29, 보기 (A).
매 단계 현재 2번째 수를 더하므로, 처음부터 그 덧셈을 쌓으면 저 아래 3번째 수에 이른다.
7.NS.A.1Introduce A Variable거대한 패턴에서 필요한 수가 하나뿐일 때는, 그 수를 먹여 살리는 몇 개의 수만 추적하고 그들의 작은 패턴이 데려다주게 하라.
- 몇 줄을 만들어 규칙 확인하기
- 줄의 합은 2배씩, 그래서 몇 번째 줄인지 찾기
- 2번째와 3번째 수만 추적하기
- 2번째 수는 줄마다 1씩 줄어든다
- 더해서 13번째 줄의 3번째 수에 닿기