AMC 10 · 2025 · #19

학년 7 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

recursive-sequencesequences-arithmeticexponents pattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

맨 윗줄에 수 $-1$ , $3$ , $1$ 을 두고 수들의 배열을 만든다. 이웃한 두 수를 더해 그 다음 줄의 수를 만든다. 각 줄은 각각 왼쪽 끝이 $-1$ , 오른쪽 끝이 $1$ 로 시작하고 끝난다.

$\large{-1}\qquad\large{3}\qquad\large{1}$
$\large{-1}\qquad\large{2}\qquad\large{4}\qquad\large{1}$
$\large{-1}\qquad\large{1}\qquad\large{6}\qquad\large{5}\qquad\large{1}$
이 과정을 계속하면 어떤 줄의 합이 $12{,}288$ 이 된다. 그 줄에서 왼쪽으로부터 세 번째 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\: -29$

(B)

$\: -21$

(C)

$\: -14$

(D)

$\: -18$

(E)

$\: -3$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 배열이 한 줄씩 자라난다. 맨 윗줄은 -1, 3, 1이다. 다음 줄을 만들려면 나란히 있는 두 수를 더하고, 맨 앞에 -1, 맨 뒤에 1을 놓는다. 어떤 줄의 모든 수를 더하면 12,288이 된다. 그 줄에서 왼쪽에서 세 번째 수를 구하여라.

주어진 것: 1번째 줄은 -1, 3, 1이다.; 새 줄의 안쪽 수들은 바로 윗줄에서 이웃한 두 수의 합이다.; 모든 줄은 -1로 시작해 1로 끝난다.; 2번째와 3번째 줄이 주어진다: -1, 2, 4, 1 그리고 -1, 1, 6, 5, 1.; 어떤 줄은 모든 수를 더하면 12,288이 된다.

구하는 것: 합이 12,288이 되는 줄에서 왼쪽에서 세 번째 수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

배열을 거대한 줄까지 전부 만드는 것은 너무 힘들다. 대신 패턴을 찾자. 먼저 줄의 합을 보면 깔끔한 2배 규칙을 따르므로, 전부 써 보지 않아도 목표 줄이 몇 번째인지 알 수 있다. 그다음에는 관심 있는 두 수, 즉 왼쪽에서 2번째와 3번째 수만 추적한다. 각 수는 바로 위의 몇 개 수에만 달려 있기 때문이다. 그 두 수는 각각 자기만의 간단한 패턴을 만들어, 짧은 계산으로 멀리 있는 줄에 닿는다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.NS.A.1 단계 1

몇 줄을 만들어 규칙 확인하기

규칙을 제대로 이해했는지 처음 몇 줄에 직접 적용해 본다.
각 안쪽 수는 바로 위 두 수의 합이고, 모든 줄은 왼쪽에 -1, 오른쪽에 1로 감싼다.
1번째 줄은 -1, 3, 1이다.
2번째 줄은 -1, 그다음 2와 4(-1+3, 3+1에서), 그다음 1이다.
3번째 줄은 -1, 그다음 1, 6, 5(-1+2, 2+4, 4+1에서), 그다음 1이다.
그림과 일치하므로 규칙이 분명하다.

\text{1번째 줄: }{-1},\ 3,\ 1 \qquad \text{2번째 줄: }{-1},\ 2,\ 4,\ 1 \qquad \text{3번째 줄: }{-1},\ 1,\ 6,\ 5,\ 1

💡 작은 줄에 규칙을 먼저 써 보면 배열을 만드는 장치가 뚜렷해진다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 2

줄의 합은 2배씩, 그래서 몇 번째 줄인지 찾기

각 줄을 더해 보자.
1번째 줄은 -1+3+1 = 3, 2번째 줄은 -1+2+4+1 = 6, 3번째 줄은 -1+1+6+5+1 = 12이다.
합이 한 단계마다 2배가 된다.
이는 한 줄의 각 수가 아래 줄의 합 두 개에 쓰이기 때문이다(왼쪽 이웃과 한 번, 오른쪽 이웃과 한 번).
반면 양 끝의 고정된 -1과 1은 서로 상쇄된다.
그래서 n번째 줄의 합은 3 곱하기 2의 (n-1)제곱이다.
이것을 12,288과 같다고 놓으면 2의 (n-1)제곱이 4096, 즉 2의 12제곱이 되어 n = 13이다.
목표는 13번째 줄이다.

$$3,\ 6,\ 12,\ \dots = 3\cdot 2^{\,n-1};\qquad 3\cdot 2^{\,n-1}=12288 \Rightarrow 2^{\,n-1}=4096=2^{12} \Rightarrow n=13$$

💡 각 수는 아래 두 합에 들어가고 양 끝은 상쇄되므로, 줄 합은 정확히 앞 줄의 두 배다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

2번째와 3번째 수만 추적하기

거대한 줄 전체가 아니라 그 세 번째 수만 필요하다.
수에 이름을 붙이자.
한 줄에서 왼쪽에서 2번째 수를 a, 3번째 수를 b라 하자.
새 줄의 수는 바로 위 두 수의 합이므로, 새 2번째 수는 (이전 1번째) + (이전 2번째)이고, 새 3번째 수는 (이전 2번째) + (이전 3번째)이다.
윗줄들로부터 1번째 줄에서 a는 3, b는 1에서 시작한다.

a_n=\text{n번째 줄의 2번째 수},\quad b_n=\text{n번째 줄의 3번째 수};\qquad a_1=3,\ b_1=1

💡 세 번째 수에 영향을 주는 것은 왼쪽 끝 근처 몇 개뿐이니, 그것들만 이름 붙이고 나머지는 무시한다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

2번째 수는 줄마다 1씩 줄어든다

새 2번째 수는 (이전 1번째) + (이전 2번째)이다.
1번째 수는 항상 -1이므로 2번째 수는 줄마다 1씩만 줄어든다.
1번째 줄의 a = 3에서 시작하면 2번째 수는 3, 2, 1, 0, -1, 이렇게 이어진다.
즉 n번째 줄의 2번째 수는 4 빼기 n이다.

$$a_n=-1+a_{n-1}=a_{n-1}-1,\qquad a_1=3 \;\Rightarrow\; a_n=4-n$$

💡 매번 고정된 -1을 더하는 것은 1씩 세어 내려가는 것과 같아 직선 패턴이 된다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 5

더해서 13번째 줄의 3번째 수에 닿기

새 3번째 수는 (이전 2번째) + (이전 3번째)이므로, 줄마다 3번째 수는 그 줄의 2번째 수만큼 커진다: b_n = a_{n-1} + b_{n-1}.
1번째 줄의 b = 1에서 시작하면, 13번째 줄의 3번째 수는 1에 1번째부터 12번째 줄까지의 2번째 수를 모두 더한 것이다.
그 2번째 수들은 k가 1부터 12까지일 때 4-k이다.
이들을 더하면 (4가 열두 개) 빼기 (1+2+...+12) = 48 - 78 = -30이다.
그래서 13번째 줄의 3번째 수는 1 + (-30) = -29이다.
이것이 보기 (A)이다.

$$b_n=a_{n-1}+b_{n-1}\;\Rightarrow\; b_{13}=b_1+\sum_{k=1}^{12}a_k=1+\sum_{k=1}^{12}(4-k)=1+(48-78)=-29$$

💡 매 단계 현재 2번째 수를 더하므로, 처음부터 그 덧셈을 쌓으면 저 아래 3번째 수에 이른다.

[1] #9 7.NS.A.1 규칙을 제대로 이해했는지 처음 몇 줄에 직접 적용해 본다. 각 안쪽 수는 바로 위 두 수의 합이고, 모든 줄은 왼쪽에 -1, 오른쪽에 1로 감싼

[2] #5 6.EE.A.1 각 줄을 더해 보자. 1번째 줄은 -1+3+1 = 3, 2번째 줄은 -1+2+4+1 = 6, 3번째 줄은 -1+1+6+5+1 = 12이다. 합이

[3] #4 6.EE.B.6 거대한 줄 전체가 아니라 그 세 번째 수만 필요하다. 수에 이름을 붙이자. 한 줄에서 왼쪽에서 2번째 수를 a, 3번째 수를 b라 하자. 새 줄

[4] #5 4.OA.C.5 새 2번째 수는 (이전 1번째) + (이전 2번째)이다. 1번째 수는 항상 -1이므로 2번째 수는 줄마다 1씩만 줄어든다. 1번째 줄의 a =

[5] #4 7.NS.A.1 새 3번째 수는 (이전 2번째) + (이전 3번째)이므로, 줄마다 3번째 수는 그 줄의 2번째 수만큼 커진다: b_n = a_{n-1} + b_

검토

합리성 확인: b_n = a_{n-1} + b_{n-1}로 3번째 수를 줄마다 내려가며 적으면 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1, -3, -8, -14, -21, -29이다. 13번째 값이 -29로 닫힌 형태의 합과 일치한다. 2번째 수 3, 2, 1, ...도 4-n과 맞아 조각들이 서로 들어맞는다. 3번째 수가 음수인 것은 중간부터 2번째 수가 음수로 바뀌며 누적 합을 0 아래로 끌어내리기 때문에 자연스럽다. -29는 보기 (A)이다.

대안 접근: 공식 없이 그냥 배열을 만들어도 된다. 각 줄은 왼쪽 근처만 짧게 쓰면 되므로 매 줄의 앞 세 수만 들고 가면 된다. 맨 앞 -1은 그대로 두고, 2번째 수는 -1 더하기 이전 2번째로, 3번째 수는 이전 2번째 더하기 이전 3번째로 갱신한다. 이것을 1번째 줄에서 13번째 줄까지 12번 하고 3번째 수를 읽으면 -29에 이른다. 더 느리지만 대수는 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.1 Add and subtract rational numbers, including negative integers (줄을 합하고, 양수와 음수인 2번째 수들의 나열을 더해 -29에 이르는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (줄의 합을 3 곱하기 2의 거듭제곱으로 알아보고 12,288을 13번째 줄에 맞추는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (2번째와 3번째 수를 a, b로 이름 붙이고 각 새 수가 윗줄에서 어떻게 나오는지 식으로 나타내는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern that follows a given rule (2번째 수가 3, 2, 1, 0, ...으로 줄어드는 것을 보고 규칙 4 빼기 n을 얻는 데 사용.)

⭐ 거대한 패턴에서 필요한 수가 하나뿐일 때는, 그 수를 먹여 살리는 몇 개의 수만 추적하고 그들의 작은 패턴이 데려다주게 하라.