AMC 10 · 2025 · #23

학년 7 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

linear-diophantinesystems-of-equationsgcd convert-to-algebra ↑ 선수 지식: gcd

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 격자에 141개의 행과 91개의 열이 있어 칸은 141 × 91 = 12,831개이고, 각 칸에는 수를 두 개까지 적을 수 있다. 호러스는 1부터 12,831까지를 행 방향으로 적는다. 1행에 왼쪽부터 1–91, 2행에 92–182, 이런 식으로 141행까지 채운다. 베라는 같은 수들을 열 방향으로 적는다. 1열에 위부터 1–141, 2열에 142–282, 이런 식으로 91열까지 채운다. 같은 수가 두 번 적히는 칸은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

12,831개의 수가 담긴 두 격자를 한 칸씩 비교하는 것은 불가능하므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 한 칸을 그 행 r과 열 c로 이름 붙여 오직 그 칸만 본다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 그 칸에 호러스가 적은 수와 베라가 적은 수를 각각 r, c의 식으로 쓴다. "같은 수"인 칸은 두 식이 같아지는 칸이고, 그러면 문제 전체가 하나의 방정식으로 바뀐다. 도구 #5(패턴 찾기)는 일치하는 칸을 하나 찾으면 다음 칸이 일정한 간격—오른쪽으로 9열, 아래로 14행—만큼 떨어져 있음을 알아낸다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 첫 일치 칸에서 마지막 일치 칸까지 그 간격을 따라가며 격자에 들어가는 칸의 수를 센다.

1STEP 1

한 칸을 행과 열로 이름 붙이기

12,831개를 다 보는 대신 칸 하나를 행 r(위가 1), 열 c(왼쪽이 1)로 이름 붙인다. 1 ≤ r ≤ 141, 1 ≤ c ≤ 91.

1 ≤ r ≤ 141, 1 ≤ c ≤ 91

2STEP 2

그 칸에 호러스가 적은 수 쓰기

한 행에 91개가 들어가므로 호러스는 위의 r-1개 행에 91(r-1)개를 쓰고 c칸 더 세어 91(r-1)+c를 적는다.

H = 91(r-1) + c

3STEP 3

그 칸에 베라가 적은 수 쓰기

한 열에 141개가 들어가므로 베라는 왼쪽 c-1개 열에 141(c-1)개를 쓰고 r칸 더 세어 141(c-1)+r를 적는다.

V = 141(c-1) + r

4STEP 4

두 수를 같게 놓기

일치란 두 수가 같다는 뜻이므로 정리하면 90r = 140c - 50, 즉 9r + 5 = 14c가 된다.

91(r-1)+c = 141(c-1)+r ⟹ 90r = 140c - 50 ⟹ 9r + 5 = 14c

5STEP 5

첫 일치 칸과 반복되는 간격 찾기

(1,1)은 9+5 = 14로 성립한다. 9와 14가 서로소라 양변을 함께 126씩 올리는 최소 간격은 r은 14, c는 9씩이다.

9(r+14)+5 = 9r+5+126, 14(c+9) = 14c + 126

6STEP 6

일치 칸을 나열하고 세기

(1,1)에서 (15,10), (29,19), …로 나아가 (141,91)에서 딱 멈춘다. k = 0~10이므로 11개 칸, 답은 (C)다.

r = 1 + 14k, k = 0,1,…,10 → 11 개 칸 → (C)

정답

첫 일치 칸은 맨 왼쪽 위 모서리 (1,1)이고 마지막은 맨 오른쪽 아래 모서리 (141,91)인데, 두 사람 모두 맨 왼쪽 위에 1을, 맨 오른쪽 아래에 12,831을 적는 것이 당연하므로 흐뭇하게 맞아떨어진다. 그 사이의 일치 칸들은 14행, 9열씩 고르게 나아간다. 개수를 다른 방식으로 확인하면: 행은 1에서 141까지 총 140만큼 올라가고 이를 14씩 나누면 140/14 = 10걸음, 즉 10+1 = 11개 칸이다. 열은 1에서 91까지 90만큼 올라가고 9씩 나누면 90/9 = 10걸음으로 똑같이 11개다. 두 좌표가 일치하므로 11은 확실하며 (C)와 맞다.

💡핵심 정리

칸을 행과 열로 이름 붙이고, 각 사람의 수를 식으로 써서 같게 놓으면, 일치하는 칸들은 모서리에서 모서리까지 고르게 찍힌 점들로 드러난다 — 멈추는 지점을 세면 11개다.

한 칸을 행과 열로 이름 붙이기
그 칸에 호러스가 적은 수 쓰기
그 칸에 베라가 적은 수 쓰기
두 수를 같게 놓기
첫 일치 칸과 반복되는 간격 찾기
일치 칸을 나열하고 세기