AMC 10 · 2025 · #23

학년 7 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

linear-diophantinesystems-of-equationsgcd convert-to-algebra ↑ 선수 지식: gcd

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정사각형 칸으로 이루어진 직사각형 격자가 $141$ 개의 행과 $91$ 개의 열로 되어 있다. 각 칸에는 숫자를 두 개까지 적을 수 있다. 호러스와 베라는 각자 $1$ 부터 $141 \times 91 = 12{,}831$ 까지의 숫자를 칸에 채워 넣는다. 호러스는 격자를 가로 방향으로 채운다. 즉 $1$ 부터 $91$ 까지를 $1$ 행에 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 적고, $92$ 부터 $182$ 까지를 $2$ 행에 왼쪽에서 오른쪽으로 적으며, 같은 방식으로 $141$ 행까지 계속한다. 베라는 격자를 세로 방향으로 채운다. 즉 $1$ 부터 $141$ 까지를 $1$ 열에 위에서 아래로 순서대로 적고, 이어서 $142$ 부터 $282$ 까지를 $2$ 열에 위에서 아래로 적으며, 같은 방식으로 $91$ 열까지 계속한다. 같은 숫자가 두 번 적히는 칸은 모두 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

~10

(C)

~11

(D)

~12

(E)

~19

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 격자에 $141$개의 행과 $91$개의 열이 있다. 호러스는 $1$부터 $12{,}831$까지를 행 방향으로(왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래로) 적고, 베라는 같은 수들을 열 방향으로(위에서 아래로, 왼쪽에서 오른쪽으로) 적는다. 어떤 칸에 호러스가 적은 수와 베라가 적은 수가 같으면 그 칸은 "같은 수가 두 번" 들어간 칸이다. 이런 칸이 몇 개인지 센다.

주어진 것: 격자는 $141$행 $91$열이므로 칸은 $141\times 91 = 12{,}831$개다; 호러스는 가로로 채운다: $1$행에 $1$–$91$, $2$행에 $92$–$182$, … (한 행마다 $91$개); 베라는 세로로 채운다: $1$열에 $1$–$141$, $2$열에 $142$–$282$, … (한 열마다 $141$개); 선택지: (A) $7$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $19$

구하는 것: 호러스의 수와 베라의 수가 같아지는 칸의 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기

$12{,}831$개의 수가 담긴 두 격자를 한 칸씩 비교하는 것은 불가능하므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 한 칸을 그 행 $r$과 열 $c$로 이름 붙여 오직 그 칸만 본다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 그 칸에 호러스가 적은 수와 베라가 적은 수를 각각 $r$, $c$의 식으로 쓴다. "같은 수"인 칸은 두 식이 같아지는 칸이고, 그러면 문제 전체가 하나의 방정식으로 바뀐다. 도구 #5(패턴 찾기)는 일치하는 칸을 하나 찾으면 다음 칸이 일정한 간격—오른쪽으로 $9$열, 아래로 $14$행—만큼 떨어져 있음을 알아낸다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 첫 일치 칸에서 마지막 일치 칸까지 그 간격을 따라가며 격자에 들어가는 칸의 수를 센다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

한 칸을 행과 열로 이름 붙이기

$12{,}831$개의 수를 모두 보는 대신 한 칸에 집중해서, 그 칸을 행 $r$(맨 위가 $1$)과 열 $c$(맨 왼쪽이 $1$)로 나타낸다.
모든 칸은 $1\le r\le 141$, $1\le c\le 91$인 쌍 $(r,c)$를 가진다.
목표는 두 사람이 같은 수를 적은 쌍을 찾는 것이다.

$$1 \le r \le 141, \qquad 1 \le c \le 91$$

💡 칸에 $(r,c)$라는 주소를 주면 거대한 목록 대신 하나의 식으로 어떤 칸이든 말할 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

그 칸에 호러스가 적은 수 쓰기

호러스는 한 행마다 $91$개를 채운다.
$r$행 $c$열에 이르려면 먼저 그 위의 완전한 $r-1$개 행을 채우는데 $91(r-1)$개를 쓰고, 그다음 $r$행 안으로 $c$칸을 더 센다.
따라서 호러스가 칸 $(r,c)$에 적는 수는 $91(r-1)+c$이다.

$$H = 91(r-1) + c$$

💡 앞의 완전한 행들에 자기 행 안으로 들어간 칸 수를 더하면 호러스의 세기에서 정확히 어디인지 알 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 3

그 칸에 베라가 적은 수 쓰기

베라는 한 열마다 $141$개를 채운다.
같은 칸 $(r,c)$에 이르려면 먼저 그 왼쪽의 완전한 $c-1$개 열을 채우는데 $141(c-1)$개를 쓰고, 그다음 $c$열을 따라 아래로 $r$칸을 더 센다.
따라서 베라가 칸 $(r,c)$에 적는 수는 $141(c-1)+r$이다.

$$V = 141(c-1) + r$$

💡 같은 칸이지만 이번엔 왼쪽의 완전한 열들에 열을 따라 내려간 칸 수를 더해 베라의 세기를 잰다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

두 수를 같게 놓기

어떤 칸이 "같은 수가 두 번" 들어간 칸이 되는 것은 호러스의 수와 베라의 수가 같을 때뿐이다.
$H=V$로 놓고 정리한다.
전개하면 $91r-91+c = 141c-141+r$이고, $r$과 $c$의 항을 모으면 $90r = 140c - 50$이다.
양변을 $10$으로 나누면 깔끔한 관계식 $9r + 5 = 14c$를 얻는다.

$$91(r-1)+c = 141(c-1)+r \;\Longrightarrow\; 90r = 140c - 50 \;\Longrightarrow\; 9r + 5 = 14c$$

💡 깔끔한 방정식 하나가 격자 전체를 대신한다: 이 식을 만족하는 $(r,c)$가 곧 일치하는 칸이다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 5

첫 일치 칸과 반복되는 간격 찾기

맨 왼쪽 위 칸 $(r,c)=(1,1)$은 $9(1)+5 = 14 = 14(1)$이므로 성립한다.
두 사람 모두 거기에 $1$을 적는다.
다음 해를 찾으려면 방정식을 계속 균형 있게 유지해야 한다.
$r$을 $14$ 늘리면 좌변에 $126$이 더해지고, $c$를 $9$ 늘리면 우변에 $126$이 더해져 양변이 그대로 같다.
간격 크기는 정해져 있다: $9$와 $14$는 공약수가 없어서(최대공약수가 $1$) $9r$과 $14c$를 나란히 유지하는 가장 작은 정수 간격은 $r$을 $14$, $c$를 $9$ 늘리는 것이다.
그래서 일치하는 칸들은 직선을 따라 나아가며, 각 칸은 앞 칸에서 아래로 $14$행, 오른쪽으로 $9$열 떨어져 있다.

$$9(r+14)+5 = 9r+5+126, \qquad 14(c+9) = 14c + 126$$

💡 $9$와 $14$가 공약수가 없어서 좌표가 균형을 유지하려면 꼭 $14$와 $9$씩 통째로 건너뛰어야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 6

일치 칸을 나열하고 세기

$(1,1)$에서 시작해 행에 $14$, 열에 $9$를 계속 더한다: $(1,1), (15,10), (29,19), \dots$.
행 값은 $1, 15, 29, \dots, 141$이고 열 값은 $1, 10, 19, \dots, 91$이다.
둘 다 같은 마지막 칸, 즉 맨 오른쪽 아래 모서리 $(141,91)$에서 최댓값에 도달한다.
$9(141)+5 = 1274 = 14(91)$이기 때문이다.
행 값은 $k = 0,1,2,\dots,10$에 대해 $r = 1 + 14k$이므로 $11$개이고, 모두 격자 안에 들어간다.
따라서 같은 수가 두 번 들어간 칸은 $11$개이고, 답은 (C)이다.

$$r = 1 + 14k,\; k = 0,1,\dots,10 \;\Rightarrow\; 11 \text{개 칸} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 일치하는 칸들은 한 모서리에서 반대쪽 모서리까지 일정한 간격으로 찍힌 점들이므로 멈추는 지점을 세기만 하면 된다.

[1] #4 6.EE.B.6 $12{,}831$개의 수를 모두 보는 대신 한 칸에 집중해서, 그 칸을 행 $r$(맨 위가 $1$)과 열 $c$(맨 왼쪽이 $1$)로 나타낸다

[2] #13 6.EE.A.2 호러스는 한 행마다 $91$개를 채운다. $r$행 $c$열에 이르려면 먼저 그 위의 완전한 $r-1$개 행을 채우는데 $91(r-1)$개를 쓰고

[3] #13 6.EE.A.2 베라는 한 열마다 $141$개를 채운다. 같은 칸 $(r,c)$에 이르려면 먼저 그 왼쪽의 완전한 $c-1$개 열을 채우는데 $141(c-1)$

[4] #13 7.EE.B.4 어떤 칸이 "같은 수가 두 번" 들어간 칸이 되는 것은 호러스의 수와 베라의 수가 같을 때뿐이다. $H=V$로 놓고 정리한다. 전개하면 $91r

[5] #5 6.NS.B.4 맨 왼쪽 위 칸 $(r,c)=(1,1)$은 $9(1)+5 = 14 = 14(1)$이므로 성립한다. 두 사람 모두 거기에 $1$을 적는다. 다음

[6] #2 4.OA.B.4 $(1,1)$에서 시작해 행에 $14$, 열에 $9$를 계속 더한다: $(1,1), (15,10), (29,19), \dots$. 행 값은 $1

검토

합리성 확인: 첫 일치 칸은 맨 왼쪽 위 모서리 $(1,1)$이고 마지막은 맨 오른쪽 아래 모서리 $(141,91)$인데, 두 사람 모두 맨 왼쪽 위에 $1$을, 맨 오른쪽 아래에 $12{,}831$을 적는 것이 당연하므로 흐뭇하게 맞아떨어진다. 그 사이의 일치 칸들은 $14$행, $9$열씩 고르게 나아간다. 개수를 다른 방식으로 확인하면: 행은 $1$에서 $141$까지 총 $140$만큼 올라가고 이를 $14$씩 나누면 $140/14 = 10$걸음, 즉 $10+1 = 11$개 칸이다. 열은 $1$에서 $91$까지 $90$만큼 올라가고 $9$씩 나누면 $90/9 = 10$걸음으로 똑같이 $11$개다. 두 좌표가 일치하므로 $11$은 확실하며 (C)와 맞다.

대안 접근: 행과 열을 $1$ 대신 $0$부터 센다. 그러면 호러스의 수는 $91r+c+1$, 베라의 수는 $141c+r+1$이고, 둘을 같게 놓으면 $+1$이 지워져 $90r = 140c$, 즉 $9r = 14c$가 된다. 이제 일치 칸은 $r$이 $14$의 배수, $c$가 그에 대응하는 $9$의 배수인 점들뿐이다: $r = 0,14,28,\dots,140$으로 $11$개다. 조금 더 깔끔한 수로 같은 개수에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (임의의 칸을 행 $r$과 열 $c$로 이름 붙여 하나의 식으로 어떤 칸이든 나타내기.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (칸 $(r,c)$에 대해 호러스의 수 $91(r-1)+c$와 베라의 수 $141(c-1)+r$를 식으로 쓰기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (두 식을 같게 놓고 $91(r-1)+c=141(c-1)+r$를 $9r+5=14c$까지 정리하기.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($\gcd(9,14)=1$을 이용해 일치 칸 사이의 반복 간격을 $14$행, $9$열로 고정하기.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (고르게 놓인 해 $r=1+14k$를 나열하고 격자에 들어가는 $11$개를 세기.)

⭐ 칸을 행과 열로 이름 붙이고, 각 사람의 수를 식으로 써서 같게 놓으면, 일치하는 칸들은 모서리에서 모서리까지 고르게 찍힌 점들로 드러난다 — 멈추는 지점을 세면 $11$개다.