AMC 10 · 2025 · #25

학년 8 geometry-2d
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure
reflection-unfoldingcoordinate-geometrymodular-arithmetic reflection-unfolding ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4이고, A는 왼쪽 아래, B는 오른쪽 아래, C는 오른쪽 위, D는 왼쪽 위에 있다. 점 P는 왼쪽 변 AD 위에 있고 AP=8/5, 점 Q는 위쪽 변 CD 위에 있고 DQ=10/3이다. 어떤 경로가 P에서 Q로 가는 선분을 따라 출발한 뒤, 변에 부딪힐 때마다 입사각과 반사각이 같게 반사한다. 경로가 꼭짓점에 닿으면 그 자리에서 멈추고, 그렇지 않으면 영원히 계속된다. 이 경로는 어느 꼭짓점에서 멈추는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
A
(B)
B
(C)
C
(D)
D
(E)
The path continues forever.

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

광선이 네 벽을 오가며 지그재그로 튕기는 것을 손으로 따라가는 것은 거의 불가능하다. 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심 발상을 준다. 각 벽에서 광선을 꺾는 대신, 그 벽을 기준으로 정사각형 전체를 반사시켜 광선을 반사된 복사본 속으로 곧게 날려 보내는 것이다. 반사된 복사본들이 평면을 4×4 격자로 채우고, 튕기던 경로는 하나의 직선이 된다. 이것이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)이다. 어려운 튕김 문제가 쉬운 직선 문제로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그림에 좌표를 붙여 직선의 방정식을 세우고, 도구 #1(그림 그리기)로 어느 반사된 꼭짓점이 어느 것인지 붙잡는다.

1STEP 1

정사각형을 좌표에 놓기

A=(0,0), B=(4,0), C=(4,4), D=(0,4)로 놓으면 P=(0,8/5), Q=(10/3,4)이다.

A=(0,0), B=(4,0), C=(4,4), D=(0,4), P=(0,8/5), Q=(10/3,4)
2STEP 2

P와 Q를 지나는 직선 세우기

세로 4-8/5=12/5를 가로 10/3으로 나누면 기울기는 18/25, y절편은 8/5이므로 25y=18x+40이다.

y=18/25x+8/5 ⟺ 25y=18x+40
3STEP 3

튕김을 하나의 직선으로 펴기

튕김은 거울에 비친 복사본으로 곧게 날아가는 것과 같으므로, 25y=18x+40이 두 좌표 모두 4의 배수인 점에 닿는 곳이 끝이다.

경로가 꼭짓점에 닿음⇔ x=4a, y=4b (a,b는 자연수)
4STEP 4

직선이 처음 닿는 격자 모서리 찾기

x=4a, y=4b를 넣으면 25b=18a+10이고, 가장 작은 해 a=5, b=4에서 첫 격자 모서리는 (20,16)이다.

25b=18a+10 → (a,b)=(5,4) → (x,y)=(20,16)
5STEP 5

격자 모서리를 실제 꼭짓점으로 되접기

20=4·5는 홀수 번 띠를 건너 x는 4로, 16=4·4는 짝수라 y는 0으로 되접혀 (4,0), 곧 꼭짓점 B이다.

x: 5 홀수→ x_real=4, y: 4 짝수→ y_real=0, (4,0)=B
정답
B
원래 직선 위에서 도착점을 확인한다. x=20일 때 y=18/25·20+8/5=360/25+40/25=400/25=16이므로 (20,16)은 실제로 광선 위에 있다. 20과 16 모두 4의 배수이므로 진짜 격자 모서리이고, a=5가 25b=18a+10의 가장 작은 양의 해이므로 처음 닿는 모서리이다. 홀짝 판정(x: 홀수 띠 → 4, y: 짝수 띠 → 0)으로 (4,0)=B를 얻으며, 이는 실제 꼭짓점이므로 보기 (E)가 아니다. 경로는 실제로 멈추므로 (E)를 배제하고 (B)에 도달한다.
💡핵심 정리

거울 상자 안에서 튕기는 공을 따라가려면 경로를 꺾지 말고 상자를 반사시켜 공을 곧게 날린 뒤, 어느 반사된 꼭짓점에 먼저 닿는지 보면 된다.

  • 정사각형을 좌표에 놓기
  • P와 Q를 지나는 직선 세우기
  • 튕김을 하나의 직선으로 펴기
  • 직선이 처음 닿는 격자 모서리 찾기
  • 격자 모서리를 실제 꼭짓점으로 되접기

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