AMC 10 · 2025 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure

reflection-unfoldingcoordinate-geometrymodular-arithmetic reflection-unfolding ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 $ABCD$ 의 한 변의 길이는 $4$ 이다. 점 $P$ 와 $Q$ 는 각각 $\overline{AD}$ 와 $\overline{CD}$ 위에 있고, $AP=\frac{8}{5}$ , $DQ=\frac{10}{3}$ 이다. 어떤 경로가 $P$ 에서 $Q$ 로 향하는 선분을 따라 출발하여, $ABCD$ 의 변에 부딪힐 때마다 반사되면서(입사각과 반사각이 서로 같도록) 계속 나아간다. 이 경로가 정사각형의 꼭짓점에 닿으면 그 자리에서 멈추고, 그렇지 않으면 영원히 계속된다. 이 경로는 어느 꼭짓점에서 멈추는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

The path continues forever.

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $4$인 정사각형에서, 공이 왼쪽 변 위의 점 $P$에서 출발해 위쪽 변 위의 점 $Q$까지 직선으로 간 뒤, 거울 상자 안의 빛처럼 벽에 부딪힐 때마다 반사한다(들어오는 각과 나가는 각이 같음). 공은 꼭짓점에 정확히 닿을 때만 멈춘다. 어느 꼭짓점에 도달하는지 구하여라.

주어진 것: 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이는 $4$이고 $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,4)$, $D=(0,4)$로 놓는다; $P$는 $\overline{AD}$ 위에 있고 $AP=\frac{8}{5}$이므로 $P=(0,\frac{8}{5})$; $Q$는 $\overline{CD}$ 위에 있고 $DQ=\frac{10}{3}$이므로 $Q=(\frac{10}{3},4)$; 경로는 $P\to Q$ 방향으로 시작해 각 벽에서 들어오는 각과 나가는 각이 같게 반사한다; 경로는 꼭짓점에 닿는 순간 멈추고, 그렇지 않으면 영원히 계속된다

구하는 것: 반사하는 경로가 마지막에 도달하는 꼭짓점($A$, $B$, $C$, $D$), 또는 어느 꼭짓점에도 닿지 않는지 여부

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기, #1 그림 그리기

광선이 네 벽을 오가며 지그재그로 튕기는 것을 손으로 따라가는 것은 거의 불가능하다. 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심 발상을 준다. 각 벽에서 광선을 꺾는 대신, 그 벽을 기준으로 정사각형 전체를 반사시켜 광선을 반사된 복사본 속으로 곧게 날려 보내는 것이다. 반사된 복사본들이 평면을 $4\times4$ 격자로 채우고, 튕기던 경로는 하나의 직선이 된다. 이것이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)이다. 어려운 튕김 문제가 쉬운 직선 문제로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그림에 좌표를 붙여 직선의 방정식을 세우고, 도구 #1(그림 그리기)로 어느 반사된 꼭짓점이 어느 것인지 붙잡는다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

정사각형을 좌표에 놓기

$A$를 원점에 두어 $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,4)$, $D=(0,4)$로 놓는다.
점 $P$는 왼쪽 변 $\overline{AD}$ 위에서 $A$보다 $AP=\frac{8}{5}$만큼 높이에 있으므로 $P=(0,\frac{8}{5})$이다.
점 $Q$는 위쪽 변 $\overline{CD}$ 위에서 $D$로부터 $DQ=\frac{10}{3}$만큼 떨어져 있으므로 $Q=(\frac{10}{3},4)$이다.

$$A=(0,0),\ B=(4,0),\ C=(4,4),\ D=(0,4),\quad P=\left(0,\tfrac{8}{5}\right),\ Q=\left(\tfrac{10}{3},4\right)$$

💡 모든 점을 $(x,y)$ 쌍으로 이름 붙이면 그림이 계산할 수 있는 수로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

P와 Q를 지나는 직선 세우기

$\overline{PQ}$의 기울기를 세로 변화량 나누기 가로 변화량으로 구한다.
세로 변화량은 $4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$이고 가로 변화량은 $\frac{10}{3}$이므로, 기울기는 $\frac{12}{5}\div\frac{10}{3}=\frac{12}{5}\cdot\frac{3}{10}=\frac{18}{25}$이다.
직선이 $P=(0,\frac{8}{5})$에서 출발하므로 $y$절편은 $\frac{8}{5}$이고, 진행 방정식이 나온다.

$$y=\frac{18}{25}x+\frac{8}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad 25y=18x+40$$

💡 기울기는 오른쪽으로 한 걸음 갈 때 얼마나 오르는지이므로, 발사의 방향 전체를 정한다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.3 단계 3

튕김을 하나의 직선으로 펴기

광선이 벽에서 반사하는 것은 광선을 거울에 비친 방으로 곧게 보내는 것과 똑같아 보인다.
그래서 경로를 꺾는 대신, 만나는 벽마다 정사각형을 반사시킨다.
반사된 복사본들이 평면을 $4\times4$ 정사각형 격자로 채우고, 튕기던 경로 전체가 하나의 직선 $25y=18x+40$으로 펴진다.
실제 튕김이 꼭짓점에서 끝나는 것은, 이 직선이 격자의 모서리, 즉 두 좌표가 모두 $4$의 배수인 점 $(x,y)$에 도달할 때와 정확히 일치한다.
반사된 꼭짓점의 어떤 복사본이든 여전히 그런 격자점에 놓이기 때문이다.

$$\text{경로가 꼭짓점에 닿음}\iff x=4a,\ y=4b\ (a,b\text{는 자연수})$$

💡 거울 튕김과 거울 속 상으로 곧게 쏘는 것은 완전히 같은 그림을 그린다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.C.7 단계 4

직선이 처음 닿는 격자 모서리 찾기

$x=4a$, $y=4b$를 $25y=18x+40$에 대입하면 $100b=72a+40$이고, 양변을 $4$로 나누면 $25b=18a+10$이 남는다.
$b$가 자연수가 되게 하는 가장 작은 자연수 $a>0$을 찾는다.
배수를 대입해 보면 $a=5$일 때 $18\cdot5+10=100=25\cdot4$이므로 $b=4$이다.
더 작은 양의 $a$는 없으므로, 광선이 처음 닿는 격자 모서리는 $(x,y)=(20,16)$이다.

$$25b=18a+10\ \Rightarrow\ (a,b)=(5,4)\ \Rightarrow\ (x,y)=(20,16)$$

💡 기하 문제를 방정식 하나로 바꾸면 처음 닿는 정확한 모서리를 산수로 찾을 수 있다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.3 단계 5

격자 모서리를 실제 꼭짓점으로 되접기

이제 격자 모서리 $(20,16)$에 어느 실제 꼭짓점이 놓이는지 반사를 되돌려 읽는다.
$x$ 방향: $20=4\cdot5$이고, 폭이 $4$인 띠를 홀수 번 반사하면 왼쪽 모서리가 오른쪽으로 뒤집히므로 $x=20$은 실제 $x=4$로 되접힌다.
$y$ 방향: $16=4\cdot4$로 짝수 번의 띠이므로 실제 $y=0$으로 되접힌다.
실제 모서리는 $(4,0)$, 즉 꼭짓점 $B$이다.
따라서 경로는 $\textbf{(B)}\ B$에서 멈춘다.

$$x:\ 5\text{ 홀수}\to x_{\text{real}}=4,\quad y:\ 4\text{ 짝수}\to y_{\text{real}}=0,\quad (4,0)=B$$

💡 띠를 하나 건널 때마다 좌표 하나가 뒤집히므로, 건넌 띠 개수의 홀짝이 어느 꼭짓점에 도착했는지 알려 준다.

[1] #1 6.NS.C.8 $A$를 원점에 두어 $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,4)$, $D=(0,4)$로 놓는다. 점 $P$는 왼쪽 변 $\overl

[2] #4 8.EE.B.6 $\overline{PQ}$의 기울기를 세로 변화량 나누기 가로 변화량으로 구한다. 세로 변화량은 $4-\frac{8}{5}=\frac{12}{

[3] #17 8.G.A.3 광선이 벽에서 반사하는 것은 광선을 거울에 비친 방으로 곧게 보내는 것과 똑같아 보인다. 그래서 경로를 꺾는 대신, 만나는 벽마다 정사각형을 반

[4] #9 8.EE.C.7 $x=4a$, $y=4b$를 $25y=18x+40$에 대입하면 $100b=72a+40$이고, 양변을 $4$로 나누면 $25b=18a+10$이 남

[5] #17 8.G.A.3 이제 격자 모서리 $(20,16)$에 어느 실제 꼭짓점이 놓이는지 반사를 되돌려 읽는다. $x$ 방향: $20=4\cdot5$이고, 폭이 $4$

검토

합리성 확인: 원래 직선 위에서 도착점을 확인한다. $x=20$일 때 $y=\frac{18}{25}\cdot20+\frac{8}{5}=\frac{360}{25}+\frac{40}{25}=\frac{400}{25}=16$이므로 $(20,16)$은 실제로 광선 위에 있다. $20$과 $16$ 모두 $4$의 배수이므로 진짜 격자 모서리이고, $a=5$가 $25b=18a+10$의 가장 작은 양의 해이므로 처음 닿는 모서리이다. 홀짝 판정($x$: 홀수 띠 $\to 4$, $y$: 짝수 띠 $\to 0$)으로 $(4,0)=B$를 얻으며, 이는 실제 꼭짓점이므로 보기 (E)가 아니다. 경로는 실제로 멈추므로 (E)를 배제하고 (B)에 도달한다.

대안 접근: 좌표를 되접는 대신 반사 횟수를 세어도 된다. $P=(0,\frac{8}{5})$에서 $(20,16)$까지 직선은 세로 벽 $x=4,8,12,16$을 네 번, 가로 벽 $y=4,8,12$를 세 번 지나므로, 모서리에 닿기 전 반사가 $7$번 일어난다. 꼭짓점 이름을 $A$에서 시작해 $7$번의 튕김만큼 순환시키면 같은 수의 사분회전을 거쳐 다시 $B$에 도달하여 답을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 좌표평면에 점을 나타내어 문제 해결하기 (정사각형과 $P$, $Q$를 좌표에 놓아 기하를 계산 가능한 형태로 만들기.)
8.EE.B.6 기울기를 이용해 직선의 식 y = mx + b 유도하기 ($\overline{PQ}$의 기울기 $\frac{18}{25}$을 구하고 그 방정식 $y=\frac{18}{25}x+\frac{8}{5}$을 세우기.)
8.G.A.3 좌표를 이용해 반사가 도형에 미치는 효과 기술하기 (각 튕김을 반사된 정사각형 복사본으로 펴고, 격자 모서리 $(20,16)$을 실제 꼭짓점으로 되접기.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 ($25y=18x+40$을 $25b=18a+10$으로 줄이고 처음의 자연수 모서리 $(20,16)$을 찾기.)

⭐ 거울 상자 안에서 튕기는 공을 따라가려면 경로를 꺾지 말고 상자를 반사시켜 공을 곧게 날린 뒤, 어느 반사된 꼭짓점에 먼저 닿는지 보면 된다.