AMC 10 · 2002 · #21
학년 6 pattern답을 골라 클릭하세요.
이천 개의 항을 손으로 더하는 것은 말이 되지 않고, 보기들은 서로 너무 가까워서 어림만으로는 가려낼 수 없다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 무언가 되풀이될 때까지 항을 적는다. 도구 #5(패턴 찾기)는 그 되풀이를 희망이 아니라 증명으로 바꾼다. 각 항이 앞 두 항으로 결정되므로, 연속한 두 항의 쌍이 다시 나타나는 순간 수열 전체가 영원히 되풀이된다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 수천 개 항의 합을 짧은 한 덩어리의 합과 곱셈으로 바꿔 준다. 남는 것은 누적합이 한 덩어리 도중에 10,000을 넘는 마지막 구간뿐이고, 그 정도는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 한 항씩 밟아 가면 충분하다.
쌍이 되풀이될 때까지 항 적기
규칙대로 적으면 처음 쌍 4,7이 13, 14번째에 되돌아오므로 덩어리 길이는 12이다.
중요한 것은 마지막 두 항뿐이므로, 그 쌍이 돌아온 순간 수열은 그 전의 모든 것을 잊는다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List덩어리가 영원히 반복됨을 증명하기
같은 쌍은 같은 미래를 강제하므로 수열은 첫 항부터 주기적이다.
같은 출발 쌍 둘은 같은 미래를 낳을 수밖에 없다. 규칙이 다른 어디도 보지 않기 때문이다.
잇따른 두 항의 짝이 되풀이되는 순간, 수열 전체가 그 뒤로 영원히 되풀이될 수밖에 없다.
▸ 왜?
규칙은 마지막 두 항만 보므로, 똑같은 짝 뒤에는 똑같은 앞날이 따라온다.
▸ 왜?
가능한 숫자 짝은 유한하므로, 어떤 짝은 반드시 두 번째로 나타나게 되어 있다.
한 덩어리를 더하고 여러 덩어리로 늘리기
한 덩어리의 합은 60이므로 k개 덩어리는 12k항에서 60k를 준다.
덩어리가 똑같다는 것은 열두 걸음마다 누적합이 똑같이 60씩 오른다는 뜻이다.
4.NBT.B.4Solve An Easier Related Problem목표 아래 마지막 온전한 덩어리 찾기
10,000 = 60 · 166 + 40이므로 마지막 온전한 덩어리는 S₁₉₉₂ = 9960에서 끝나 아직 모자란다.
온전한 덩어리는 곱셈 한 번으로 가까이 데려다주고, 남은 40은 손으로 걸어서 지워야 한다.
6.NS.B.2Solve An Easier Related Problem다음 덩어리를 한 항씩 밟기
다음 덩어리를 밟으면 S₁₉₉₈ = 9996, S₁₉₉₉ = 10,002이므로 답은 1999, 보기 (B).
차이가 40까지 좁혀지면, 숫자를 하나씩 더하면서 그 차이를 메우는 걸음이 언제인지만 보면 된다.
4.NBT.B.4Guess And Check규칙이 마지막 두 항만 본다면, 쌍이 되풀이되는 순간 수열 전체가 영원히 돈다. 그러니 한 바퀴를 더해서 곱하고, 남은 항만 손으로 밟아 가면 된다.
- 쌍이 되풀이될 때까지 항 적기
- 덩어리가 영원히 반복됨을 증명하기
- 한 덩어리를 더하고 여러 덩어리로 늘리기
- 목표 아래 마지막 온전한 덩어리 찾기
- 다음 덩어리를 한 항씩 밟기