AMC 10 · 2002 · #24
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
구해야 하는 변에 대해서는 아무것도 주어지지 않았다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)이 변에서 눈을 떼고 대각선을 보라고 말한다. 주어진 네 거리가 실제로 통제하는 것은 대각선이기 때문이다. 그러면 넓이의 상한이 나오는데, 주어진 넓이가 그 상한과 정확히 같다. 이제 도구 #14(극단의 원리)가 풀이 전체의 동력이 된다. 어떤 양이 천장에 딱 붙은 채로 주어지면, 그 천장을 만드는 데 쓴 모든 부등식이 등식이어야 하고, 그 등식 하나하나가 그림에 대한 기하 정보가 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 번 필요하다. 한 번은 대각선에 내린 높이를 보기 위해, 또 한 번은 극단의 사각형을 실제로 그려서 존재를 확인하기 위해서다. 도달하는 도형이 없는 상한은 아무것도 증명하지 못하기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 마무리한다. 대각선이 P에서 직각으로 만난다는 것이 밝혀지면, 각 변은 따로따로 작은 피타고라스 계산이 된다.
대각선 AC를 따라 자르기
대각선이 사각형을 나누어 넓이가 대각선의 절반 곱하기 두 높이가 된다.
변은 모르지만 P에서의 거리가 말해 주는 유일한 선분이 대각선이므로, 넓이를 대각선으로 만들어 둔다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement두 높이를 BD로 바꾸기
그 높이는 다른 대각선에 눌리고, 등식은 두 대각선이 수직일 때만 성립한다.
비스듬한 선분은 언제나 자기 그림자보다 길다. 그래서 한 직선에 대해 잰 두 높이의 합이 그 둘을 잇는 선분보다 클 수는 없다.
비스듬한 선분은 그 그림자보다 짧을 수 없으므로, 한 직선에서 잰 두 높이의 합이 그 선분 자체를 넘을 수 없다.
▸ 왜?
한 점에서 다른 점으로 제삼의 점을 거쳐 가는 길은 곧장 가는 것보다 짧을 수 없다.
▸ 왜?
각 높이는 비스듬한 조각을 빗변으로 하는 직각삼각형의 변이므로, 변이 빗변을 이길 수 없다.
P를 거쳐 두 대각선 누르기
P를 거치는 삼각부등식이 대각선을 52와 77로 누른다.
P에서의 거리가 대각선에 대해 말해 줄 수 있는 것은 그 양 끝이 최대 얼마나 벌어질 수 있는지뿐이다.
7.G.A.2Extreme Principle조임 닫기
사슬의 양 끝이 모두 2002이므로 모든 단계가 등식이고 대각선은 P에서 만나 직각을 이룬다.
주어진 값이 그 상황에서 가능한 최댓값과 같다면 어디에서도 손해를 보지 않았다는 뜻이므로, 거쳐 온 모든 부등식이 팽팽해야 한다.
7.EE.B.4Extreme Principle그런 도형이 정말 있는지 확인하기
그 도형을 실제로 만들면 네 직각삼각형의 합이 2002임이 확인된다.
상한을 잡는 것은 절반의 일일 뿐이다. 그 상한에 닿는 도형이 실제로 그려져야 하고, 여기서는 그려진다.
6.G.A.1Draw A Diagram네 모서리에서 피타고라스
각 모서리에 피타고라스를 쓰면 변은 40, √(1808), 53, 51이다.
P에서의 직각이 사각형의 모든 변을 빗변으로 바꿔 주고, 그 두 변은 이미 문제에 적혀 있다.
8.G.B.7Identify Subproblems네 변 더하기
더하고 근호를 정리하면 4(36+√(113)), 보기 (E).
네 변 중 셋이 피타고라스 세 쌍의 정수로 떨어져 근호는 하나만 남고, 그 하나가 인쇄된 형태로 인수분해된다.
8.EE.A.2Identify Subproblems문제가 건네준 수가 그 상황에서 가능한 최댓값과 딱 같다면, 거기까지 오는 데 쓴 모든 부등식이 팽팽해야 한다 — 그리고 팽팽해진 부등식 하나하나가 도형의 조각을 되돌려 준다.
- 대각선 AC를 따라 자르기
- 두 높이를 BD로 바꾸기
- P를 거쳐 두 대각선 누르기
- 조임 닫기
- 그런 도형이 정말 있는지 확인하기
- 네 모서리에서 피타고라스
- 네 변 더하기
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