AMC 10 · 2002 · #25
학년 9 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
적힌 그대로의 두 조건은 두 변수에 대한 이차부등식이라 눈에 아무것도 보이지 않는다. 도구 #4(변수 도입하기)를 두 번 쓴다. 완전제곱으로 f를 다시 쓰고, 그다음 u = x+3, v = y+3으로 원점을 옮긴다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다. 원점을 옮기고 나면 한 조건은 원점을 중심으로 하는 원판이 되고 다른 조건은 그저 |u| ≤ |v|가 되어, 두 조건이 같은 중심과 같은 대칭을 공유한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 둘을 하나의 그림으로 바꾼다. 자기 중심을 지나는 두 수직인 직선에 잘린 원이다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 마무리한다. 적분할 것이 없다. 영역이 원의 합동인 조각 몇 개로 딱 떨어지기 때문이다.
f를 완전제곱으로 고치기
완전제곱으로 고치면 첫 조건이 (x+3)² + (y+3)² ≤ 16이 된다.
최고차항의 계수가 양수인 이차식은 옮겨진 제곱이고, 옮겨진 제곱 두 개를 더한 것은 거리의 모양이다.
9.A-SSE.B.3Introduce A Variable첫 번째 조건을 원판으로 읽기
이는 (-3,-3)을 중심으로 하는 반지름 4의 원판이고 넓이는 16π다.
좌표 차의 제곱 두 개를 더한 것은 거리의 제곱이므로, 거기에 걸린 부등식은 한 점 가까이에 있으라는 뜻이다.
두 좌표 차의 제곱을 더한 것은 거리의 제곱이므로, 첫 조건은 원판을 나타낸다.
▸ 왜?
좌표 위에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형이 두 변을 합치는 방식으로 두 좌표 차를 합친 것이다.
▸ 왜?
한 중심에서 일정한 거리에 있는 점들은 원을 이루므로, 그 거리를 한정하면 원판이 채워진다.
두 번째 조건을 인수분해하기
두 번째 조건은 (x-y)(x+y+6) ≤ 0으로 인수분해된다 — 곡선이 아니라 두 직선이다.
빼면 제곱이 상쇄되고 남은 것이 인수분해되므로, 두 번째 조건은 사실 두 직선에 관한 이야기다.
9.A-SSE.A.2Change Focus Count The Complement원점을 중심으로 옮기기
원점을 중심으로 옮기면 두 조건이 u² + v² ≤ 16, |u| ≤ |v|가 된다.
두 직선은 이미 원의 중심을 지나므로, 원점을 그 중심으로 옮기면 모든 조건이 한 점에 정렬된다.
8.G.A.3Organize Information In More Ways원판을 사등분해 세기
중심을 지나는 두 수직 직선이 원판을 합동인 네 조각으로 자른다.
원의 중심을 지나는 수직인 두 번의 자르기는 언제나 똑같은 조각 네 개를 만들므로, 재는 대신 세면 된다.
8.G.A.1Draw A Diagram두 조각을 더해 비교하기
넷 중 둘을 남기면 원판의 절반 8π ≈ 25.13이고 가장 가까운 값은 25, 보기 (E).
영역이 정확히 원의 절반임이 드러나면 넓이 공식 한 줄로 문제가 끝난다.
7.G.B.4Organize Information In More Ways그림 전체를 밀어서 원의 중심을 원점에 놓으면 — 자르는 두 직선도 그 중심에 걸리고, 구하려는 영역은 그저 원의 절반이 된다.
- f를 완전제곱으로 고치기
- 첫 번째 조건을 원판으로 읽기
- 두 번째 조건을 인수분해하기
- 원점을 중심으로 옮기기
- 원판을 사등분해 세기
- 두 조각을 더해 비교하기
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