AMC 10 · 2003 · #14
학년 8 geometry-2d
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"KLMN은 정사각형처럼 보인다"라고 넘겨짚고 바로 계산에 들어가고 싶어진다. 그런데 그 단계야말로 반드시 증명해야 하는 부분이다. 뒤따르는 모든 계산이 거기에 매달려 있기 때문이다. 도구 #17(공간 상상하기)이 그것을 한 번에 해결한다: 그림 전체를 ABCD의 중심을 기준으로 90° 돌려 보면 그림이 자기 자신 위에 그대로 포개지고, 각 꼭짓점은 다음 꼭짓점으로 옮겨간다. 어떤 점을 기준으로 한 90° 회전으로 자기 자신에 포개지는 도형은 네 꼭짓점이 그 점에서 같은 거리에 고르게 놓이므로 정사각형이다. 도구 #1(그림 그리기)은 회전만으로는 알 수 없는 한 가지 길이 — 중심에서 꼭짓점까지의 거리 — 를 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 둘로 나눈다: 대각선을 구하고, 대각선을 넓이로 바꾼다.
정사각형의 한 변은 4
넓이 16이므로 한 변은 4이고 각 삼각형의 세 변도 모두 4이다.
길이 하나를 먼저 확정하면 그림이 모양이 아니라 숫자로 바뀐다.
6.G.A.1Draw A Diagram90도 회전이 그림을 자기 자신으로 옮긴다
중심에 대한 90도 회전이 각 꼭짓점을 다음으로 보내므로 KLMN도 정사각형이다.
90° 한 번 돌려도 그림이 그대로라면, 네 꼭짓점은 정사각형의 꼭짓점처럼 놓일 수밖에 없다.
4분의 1바퀴 돌려도 그림 전체가 그대로이므로, 네 꼭짓점은 정사각형의 모퉁이처럼 놓인다.
▸ 왜?
돌리기는 도형을 자기 복사본 위에 포개므로, 각 꼭짓점은 중심에서 같은 거리의 다른 꼭짓점에 내려앉아야 한다.
▸ 왜?
똑같은 네 번의 회전이 한 바퀴를 채우므로, 꼭짓점들은 한 바퀴의 4분의 1씩 떨어져 있다.
중심에서 꼭짓점까지 걸어가기
삼각형의 높이가 2√(3)이라 대각선의 절반은 2+2√(3), 곧 KM = 4+4√(3)이다.
중심에서 꼭짓점까지는 두 걸음이다: 정사각형의 절반, 그다음 삼각형의 높이.
8.G.B.7Identify Subproblems대각선으로 정사각형의 넓이 구하기
대각선으로 구한 정사각형의 넓이는 d 제곱 나누기 2이다.
대각선을 따라 붙인 삼각형 둘이 정사각형이 되고, 각각의 높이는 대각선의 절반이다.
6.G.A.1Identify Subproblems대입해서 마무리
대입하면 32+16√(3), 보기 (D).
대각선을 제곱하고 반으로 나누면 끝이다.
6.EE.A.3Identify Subproblems그림 전체를 90° 한 번 돌리면 각 꼭짓점이 다음 꼭짓점으로 가므로 KLMN은 정사각형일 수밖에 없고, 그 대각선은 정사각형의 한 변에 삼각형 높이 두 개를 더한 4+4√(3)이며, 대각선 제곱의 절반이 넓이이다.
- 정사각형의 한 변은 4
- 90도 회전이 그림을 자기 자신으로 옮긴다
- 중심에서 꼭짓점까지 걸어가기
- 대각선으로 정사각형의 넓이 구하기
- 대입해서 마무리
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