AMC 10 · 2004 · #24

학년 10 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

minkowski-sumcircular-sectorarea-difference physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위의 두 점 A와 B의 거리가 1이다. 선분 AB 전체를 포함하는 반지름 1인 원판을 모두 생각하고, 그중 적어도 하나에 덮이는 점들의 집합을 S라 하자. S의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi + \sqrt3$

(B)

$\frac {8\pi}{3}$

(C)

$3\pi - \frac {\sqrt3}{2}$

(D)

$\frac {10\pi}{3} - \sqrt3$

(E)

$4\pi - 2\sqrt3$

풀이 과정

전략 그림 그리기

원판이 무한히 많으므로 원판 자체를 쫓아가는 것은 가망이 없다. 변하는 것 하나, 즉 중심으로 관점을 옮긴다. 반지름 1인 원판이 선분 AB를 덮는 것은 그 중심이 A와 B 양쪽에서 거리 1 이내에 있을 때뿐이므로, 가능한 중심들은 두 단위 원판이 겹치는 하나의 고정된 영역을 이룬다. 그러면 S는 그 영역을 모든 방향으로 1만큼 바깥으로 부풀린 것일 뿐이다. 좌표를 쓰면 겹치는 영역의 꼭짓점이 정확히 정해지고, 부풀린 도형은 넓이가 뻔한 몇 개의 부채꼴과 고리로 쪼개진다.

1STEP 1

선분을 덮는 것은 양 끝을 덮는 것

원판은 볼록하므로 선분을 덮는 것은 양 끝점을 덮는 것과 같다.

중심 P, 반지름 1인 원판이 AB를 덮는다 ⇔ PA ≤ 1이고 PB ≤ 1

2STEP 2

가능한 중심은 렌즈 모양

그러므로 가능한 중심은 두 단위원판이 겹치는 렌즈를 채우고 꼭짓점이 정삼각형을 이룬다.

(x+1/2)²+y² ≤ 1 이고 (x-1/2)²+y² ≤ 1 ⟹ C=(0,√3/2), D=(0,-√3/2)

3STEP 3

S는 렌즈를 1만큼 부풀린 것

덮이는 집합은 그 렌즈에서 1 이내의 모든 점이다: 렌즈, 고리 둘, 꼭짓점 부채꼴 둘.

S={X: dist(X,L) ≤ 1} = L ∪ (고리_A) ∪ (고리_B) ∪ (부채꼴_C) ∪ (부채꼴_D)

4STEP 4

렌즈의 넓이

부채꼴에서 삼각형을 빼고 두 배 하면 렌즈는 2π/3 - √3/2이다.

[L]=2(π/3-√3/4)=2π/3-√3/2

5STEP 5

고리와 부채꼴을 더하기

조각들은 가장자리에서만 만나므로 더하면 3π - √3/2, 보기 (C).

[S]=(2π/3-√3/2)+2(π)+2(π/6)=2π/3+π/3+2π-√3/2=3π-√3/2

정답

3π - √3/2

값 3π - √3/2 ≈ 8.56은 쉬운 상한과 하한 사이에 들어간다. A와 B 자신이 가능한 중심이므로 S는 A와 B를 중심으로 하는 두 단위 원판의 합집합을 포함하고, 그 넓이는 2π - (2π/3-√3/2) = 4π/3+√3/2 ≈ 5.06이다. 반대로 가능한 중심은 모두 AB의 중점에서 거리 √3/2 이내이므로, S는 그 중점을 중심으로 반지름 1+√3/2인 원판 안에 들어가고 그 넓이는 π(1+√3/2)² ≈ 10.94이다. 계산한 8.56은 5.06과 10.94 사이에 있다. 다만 보기가 약 8.02부터 9.10까지이므로 이 범위만으로는 답을 고를 수 없고, 정확한 분할이 답을 결정한다.

💡핵심 정리

무한히 많은 도형이 움직이며 영역을 쓸고 지날 때는 도형이 아니라 중심을 쫓아라. 그 영역은 가능한 중심들의 집합을 반지름만큼 바깥으로 부풀린 것일 뿐이다.

선분을 덮는 것은 양 끝을 덮는 것
가능한 중심은 렌즈 모양
S는 렌즈를 1만큼 부풀린 것
렌즈의 넓이
고리와 부채꼴을 더하기

선분을 덮는 것은 양 끝을 덮는 것

가능한 중심은 렌즈 모양

S는 렌즈를 1만큼 부풀린 것

렌즈의 넓이

고리와 부채꼴을 더하기

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