AMC 10 · 2004 · #10
학년 8 geometry-2d tangent-circlespythagorean-theoremarea-difference identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
두 원이 같은 중심을 가지며 반지름은 각각 b 와 c 이다. 큰 원 위의 점 X 에서 그은 선이 작은 원에 점 Z 에서 스치듯 닿고, a 가 그 스치는 길이이다. 두 원 사이 고리 모양 영역의 넓이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\pi a^2$
(B)
$\pi b^2$
(C)
$\pi c^2$
(D)
$\pi d^2$
(E)
$\pi e^2$
풀이 과정
전략 그림 그리기
고리의 넓이는 큰 원에서 작은 원을 뺀 것이므로 b 제곱 빼기 c 제곱에 달려 있다. 그림을 살펴보면 접선 안에 직각삼각형이 숨어 있고, 바로 그 직각삼각형이 b 제곱 빼기 c 제곱을 하나의 표시된 길이로 바꿔 준다. 삼각형을 그린 다음 대수로 마무리한다.
1STEP 1
고리는 큰 원 빼기 작은 원
고리는 큰 원판 빼기 작은 원판이므로 제곱의 차가 필요하다.
넓이 = π b² - π c² = π(b² - c²)
고리는 큰 팬케이크에서 작은 팬케이크를 뚫어낸 것일 뿐이다.
7.G.B.4Identify Subproblems2STEP 2
직각삼각형 찾기
스치는 선이 작은 반지름과 직각으로 만나 직각삼각형이 생긴다.
OX² = OZ² + XZ² → b² = c² + a²
접선은 언제나 닿는 반지름과 직각을 이루고, 직각이 있으면 피타고라스를 쓸 수 있다.
8.G.B.7Draw A Diagram3STEP 3
하나의 길이로 바꿔 넣기
그 삼각형이 차를 스치는 길이로 바꾸므로 고리는 π a², 보기 (A).
b² - c² = a² → 넓이 = π(b² - c²) = π a²
두 제곱의 지저분한 차이가 사실은 하나의 깔끔한 제곱이라서, 고리의 넓이는 반지름이 a인 평범한 원이 된다.
두 반지름 제곱의 차가 그 자체로 하나의 제곱이므로, 고리는 사실 평범한 원이 모습을 바꾼 것이다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 두 수의 차를 곱한 것이므로, 하나의 곱으로 접힌다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
원의 넓이는 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로, 어떤 길이의 제곱 하나가 곧바로 원 하나를 가리킨다.
원의 넓이반지름이 r인 원의 넓이는 πr²이다.
정답
π a²
답 pi a 제곱은 반지름이 a인 원의 넓이이고, 요구대로 표시된 길이만 사용한다. 고리의 넓이에 전혀 들어오지 않은 d와 e를 올바르게 무시한다. 간단한 점검: 안쪽 원이 중심으로 줄어들면(c가 0에 가까워지면) 접선 길이 a는 b에 가까워지고, pi a 제곱은 큰 원 전체인 pi b 제곱에 가까워진다. 구멍이 사라질 때 나와야 할 값과 정확히 일치한다.
💡핵심 정리
접선은 반지름과 직각을 이루므로, 피타고라스 정리가 고리의 넓이를 반지름 a인 원 하나로 바꿔 준다.
- 고리는 큰 원 빼기 작은 원
- 직각삼각형 찾기
- 하나의 길이로 바꿔 넣기
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