AMC 10 · 2005 · #10
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
2005개의 항을 직접 계산하는 것은 불가능하므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 전략이다. 처음 몇 항을 만들어 보고 반복되는 값이 나타나는지 지켜보면, 수열 전체가 하나의 순환에 갇힌다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 번에 자릿수 세제곱 계산 하나씩만 다루게 해서 계산을 깔끔하게 유지한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 마무리를 짓는다. 2005번째 항까지 먼 길로 도달하는 대신, 2005가 짧은 순환 안에서 어디에 놓이는지를 묻는 쉬운 나눗셈 나머지 문제로 바꾼다.
둘째 항 계산하기
둘째 항은 133이 된다.
자릿수를 세제곱한다는 것은 그 수를 세 번 곱하는 것일 뿐이고, 0³=0이므로 0은 사라진다.
6.EE.A.1Identify Subproblems이어지는 몇 항 계산하기
계속하면 55, 250, 그리고 다시 133이다.
각 화살표는 같은 규칙을 한 번 적용한 것이므로, 한 번에 작은 세제곱-더하기 계산 하나만 하면 된다.
6.EE.A.1Identify Subproblems반복되는 순환 발견하기
각 항이 앞 항에만 의존하므로 수열이 주기 3으로 순환한다.
바로 앞 항만 보는 규칙은, 어떤 값이 두 번째로 나타나는 순간 영원히 되풀이될 수밖에 없다.
바로 앞 항만 보는 규칙은 어떤 값이 두 번째로 나타나는 순간부터 영원히 되풀이된다.
▸ 왜?
어떤 값이 되풀이되면, 처음에 그 뒤를 따랐던 것이 같은 순서로 다시 따라온다.
▸ 왜?
길이가 정해진 되풀이 안에서는 그 길이로 나눈 나머지만이 어느 자리에 닿을지를 정한다.
2005번째 항이 어디에 놓이는지 찾기
나머지를 어긋남에 맞추면 250, 보기 (E).
길이 3짜리 순환에서는 3으로 나눈 나머지만이 세 값 중 어디에 놓이는지를 결정한다.
4.NBT.B.6Solve An Easier Related Problem어떤 규칙이 항을 계속 자기 자신에게 되먹일 때는, 값이 반복될 때까지 몇 항을 나열한 다음 순환 길이로 나눈 나머지를 이용해 멀리 떨어진 항으로 바로 건너뛰어라.
- 둘째 항 계산하기
- 이어지는 몇 항 계산하기
- 반복되는 순환 발견하기
- 2005번째 항이 어디에 놓이는지 찾기