AMC 10 · 2005 · #18
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"세 각이 모두 예각"은 조건 세 개를 한꺼번에 요구하므로, 꼭짓점마다 하나씩 작은 문제로 쪼갠다(도구 #7). C = (x,y)로 변수를 도입하면(도구 #4) 각 조건이 부등식이 된다. 어떤 꼭짓점의 각이 예각일 필요충분조건은 그 점에서 나가는 두 벡터의 내적이 양수라는 것이기 때문이다. 세 부등식은 각각 그림을 갖는다 — 반평면 둘과 원의 바깥이다. 그래서 그림을 그려 보면(도구 #1) R 가 대각선 방향 띠에서 원판 하나를 도려낸 모양임이 드러난다. 넓이는 띠에서 원판을 빼는 여집합 관점(도구 #16)이 가장 편하다. 반드시 짚어야 하는데 놓치기 쉬운 확인이 하나 있다. 원판이 띠 안에 통째로 들어 있어야 한다. 그렇지 않으면 애초에 띠에 없던 부분까지 빼게 된다.
각마다 내적으로 판정하기
각 각이 하나씩 다룰 수 있는 내적 조건이 된다.
내적의 부호가 양수·0·음수인 것이 곧 각이 예각·직각·둔각인 것과 정확히 대응한다.
10.G-GPE.B.4Identify Subproblems각 A는 반평면을 자른다
첫 고정점이 반평면을 자른다.
C 가 A 에서의 수선을 넘어가는 순간이 바로 A 의 각이 직각을 지나는 순간이다.
10.G-GPE.B.4Introduce A Variable각 B는 반대쪽 반평면을 자른다
둘째가 반대쪽을 잘라 대각선 띠가 남는다.
반대쪽 끝점에서 똑같은 수선 판정을 하면 띠의 두 번째 변이 나온다.
10.G-GPE.B.4Introduce A Variable각 C는 원판을 제외한다
셋째는 완전제곱을 만들어 원에 관한 조건이 된다.
완전제곱 만들기가 이차 부등식을 "이 중심에서 충분히 멀리"라는 말로 바꿔 준다.
10.G-GPE.A.1Introduce A VariableAB를 지름으로 하는 원 알아보기
그 원은 고정된 선분을 지름으로 한다.
AB를 지름으로 하는 원 위의 모든 점은 그 선분을 직각으로 보므로, 원판이 곧 둔각 구역이다.
AB를 지름으로 하는 원 위의 모든 점은 그 선분을 직각으로 바라보므로, 그 원판이 정확히 둔각 구역이다.
▸ 왜?
그 원 위의 모든 점은 AB의 중점에서 같은 거리에 있고, 그 거리는 선분의 절반이다.
▸ 왜?
각이 직각인 것은 두 변 위의 정사각형의 합이 AB 위의 정사각형과 같을 때이며, 원판 안에서는 그 합이 모자란다.
원판이 띠 안에 들어가는지 확인하기
접함을 확인하면 원판이 띠 안에 통째로 있음이 보인다.
두 수선이 원과 각각 A, B 한 점에서만 만나므로 원판이 띠 밖으로 삐져나오는 부분이 전혀 없다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram띠의 넓이 구하기
삼각형 둘이 띠의 넓이 90을 준다.
제1사분면의 대각선 띠는 큰 모서리 삼각형에서 작은 모서리 삼각형을 뺀 것이다.
10.G-GPE.B.7Change Focus Count The Complement원판을 빼고 반올림하기
원판을 빼고 반올림하면 51, 보기 (C).
예각 띠에서 둔각 원판을 도려내면 정확히 문제가 요구하는 영역이 남는다.
7.G.B.4Change Focus Count The Complement각 하나하나가 예각이라는 조건은 각각 단순한 영역 — 반평면 둘과 원 하나의 바깥 — 이므로, 답은 그것들이 겹쳐 남긴 넓이일 뿐이다.
- 각마다 내적으로 판정하기
- 각 A는 반평면을 자른다
- 각 B는 반대쪽 반평면을 자른다
- 각 C는 원판을 제외한다
- AB를 지름으로 하는 원 알아보기
- 원판이 띠 안에 들어가는지 확인하기
- 띠의 넓이 구하기
- 원판을 빼고 반올림하기
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