AMC 10 · 2007 · #14

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
equilateral-trianglearea-triangles double-counting ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정삼각형 안의 한 점에서 세 변까지의 수선의 길이가 알려져 있다. 한 변의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
$3\sqrt{3}$
(C)
6
(D)
$4\sqrt{3}$
(E)
9
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

세 수선은 그림으로 이어붙이고 싶어진다: P를 각 꼭짓점과 연결하면 정삼각형이 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다(도구 #1, 이어서 도구 #7). 각 수선은 길이 s=AB인 변 위에 놓인 작은 삼각형의 높이이므로, 세 넓이를 쉽게 적고 더할 수 있다. 그 합을 정삼각형 전체의 넓이 — 하나의 변수 s로 계산한 값(도구 #4) — 과 같게 놓으면 기하 문제가 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀐다(도구 #13). 이 넓이 분할 아이디어가 바로 비비아니 정리이다.

1STEP 1

P에서 삼각형 쪼개기

점을 꼭짓점에 이으면 삼각형이 셋으로 쪼개진다.

[ABC]=[PAB]+[PBC]+[PCA]
2STEP 2

세 작은 넓이 더하기

모든 조각이 같은 밑변을 쓰므로 넓이 합이 변의 세 배다.

[ABC]=1/2 s(1)+1/2 s(2)+1/2 s(3)=1/2 s(1+2+3)=3s
3STEP 3

정삼각형 전체의 넓이

삼각형 자체의 넓이 공식이 두 번째 식을 준다.

h=√(s²-s²/4)=√3/2s, [ABC]=√3/4s²
4STEP 4

두 넓이를 같게 놓기

같게 놓고 풀면 변이 나온다.

3s=√3/4s² → 3=√3/4s → s=12/√3
5STEP 5

근호 정리하기

근호를 정리하면 4√(3), 보기 (E).

s=12/√3=12√3/3=4√3
정답
4√(3)
s=4√3로 두 넓이를 확인한다. 조각들의 합은 3s=12√3이고, 전체는 √3/4s²=√3/4 · 48=12√3으로 서로 일치한다. 또한 전체 삼각형의 높이는 h=√3/2 · 4√3=6으로, 세 거리의 합 1+2+3과 정확히 같다. 이것이 바로 비비아니 정리로, 든든한 교차 검증이 된다. 수치로는 4√3≈6.9로 가장 큰 수선(3)보다 충분히 크며(어떤 실제 삼각형이든 그래야 한다), 12/√3과 맞는 유일한 선택지이다.
💡핵심 정리

내부의 점을 꼭짓점과 이으면 세 수선이 높이가 되고, 더한 조각들을 전체 삼각형의 넓이와 맞추면 변의 길이가 정해진다.

  • P에서 삼각형 쪼개기
  • 세 작은 넓이 더하기
  • 정삼각형 전체의 넓이
  • 두 넓이를 같게 놓기
  • 근호 정리하기

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