AMC 10 · 2007 · #7
학년 8 geometry-2d equilateral-triangleangle-sum-triangleisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
볼록오각형의 다섯 변이 모두 같고 이웃한 두 각이 직각이다. 그 맞은편 꼭짓점의 각을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
90
(B)
108
(C)
120
(D)
144
(E)
150
풀이 과정
전략 그림 그리기
각은 말로는 보기 어렵지만 그림으로는 쉽게 보이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 쓴다: ABCDE와 A, B의 두 직각을 그려 본다. 그 그림 속에 익숙한 두 도형이 숨어 있다 — 정사각형과 정삼각형이다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리한다: E에서의 각은 하나의 각이 아니라 두 각이 겹쳐진 것(정사각형의 한 모서리 각 + 정삼각형의 한 각)이므로, 각 조각을 따로 구해서 더한다.
1STEP 1
그려서 정사각형 찾기
두 직각과 같은 변이 정사각형을 잘라낸다.
AB = BC = EA = 1, AE ⊥ AB, BC ⊥ AB
같은 밑변 위에 직각으로 서 있는 같은 길이의 두 변은 정사각형으로 닫힌다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
정삼각형 알아채기
그 대각선이 남은 두 변과 같아 정삼각형이 생긴다.
EC = 1 = CD = DE → △ CDE 정삼각형
세 변의 길이가 모두 같으면 정삼각형밖에 될 수 없다.
4.G.A.2Draw A Diagram3STEP 3
정삼각형의 각은 각각 60도
그 각들은 각각 60도다.
∠ DEC = 180°/3 = 60°
같은 변은 같은 각을 만들고, 180°를 똑같이 셋으로 나누면 각각 60°이다.
변이 같으면 각도 같아지고, 평각을 나눠 가진 같은 세 각은 저마다 60도다.
▸ 왜?
변이 같은 삼각형은 자기 자신의 거울상이므로, 그 변을 마주 보는 각도 같아야 한다.
같은 변은 같은 각을 마주 본다이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개지므로 두 밑각은 같다 — 거꾸로도 성립한다.
▸ 왜?
삼각형의 세 각의 합은 언제나 평각이므로, 같은 세 각은 저마다 그 3분의 1이다.
삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
4STEP 4
E에서 두 조각을 더하기
그 꼭짓점의 두 조각을 더하면 150, 보기 (E).
∠ E = ∠ DEC + ∠ CEA = 60° + 90° = 150° → (E)
한 반직선을 공유하는 두 각은 파이 두 조각을 붙이듯 단순히 더하면 된다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
150
전체 합으로 확인해 보자: 어떤 오각형이든 내각의 합은 540°이다. 여기서 ∠ A = ∠ B = 90°이고, 도형의 좌우 대칭에 의해 ∠ C = ∠ E이며 ∠ D = ∠ CDE = 60°(삼각형의 꼭대기)이다. 따라서 90 + 90 + 60 + 2∠ E = 540에서 2∠ E = 300, 즉 ∠ E = 150°로 답과 일치한다. 또한 150° ＜ 180°이므로 볼록 조건을 만족하고, 90°보다 크다는 점도 변 ED가 수직보다 훨씬 더 기운 그림과 잘 맞는다.
💡핵심 정리
같은 길이의 변에 직각 두 개가 있으면 정사각형이 만들어지고, 남은 같은 변들은 정삼각형을 만들며, E에서의 각은 그 두 조각을 더한 것이다: 90° + 60° = 150°.
- 그려서 정사각형 찾기
- 정삼각형 알아채기
- 정삼각형의 각은 각각 60도
- E에서 두 조각을 더하기
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