AMC 10 · 2008 · #11
학년 6 geometry-3dlogic
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보이는 13개를 쫓아다니면 복잡하지만 가려진 5개를 쫓으면 짧다. 그러니 관점을 뒤집어서, 고정된 전체 합에서 가려진 합을 빼면 된다. 다만 이 뒤집기는 가려질 수 있는 면이 무엇인지 알아야 쓸모가 있고, 그것은 접기 문제다. 쌓인 정육면체에서 가려지는 윗면과 밑면은 서로 마주 보는 면이므로, 어떤 수가 어떤 수와 마주 보는지 전개도를 접어서 알아내야 한다. 바로 이 사실이 '작은 수만 골라 숨기기'를 막는다. 접기로 가려진 합의 하한을 얻은 뒤에도, 그 하한에 실제로 도달하는 쌓기를 만들어 보여야 한다. 아무도 도달하지 못하는 하한은 답이 아니기 때문이다.
가려지는 다섯 면 찾기
정확히 다섯 면이 둘-둘-하나로 가려진다.
탑 가운데 낀 정육면체는 위아래가 다 막히고, 맨 위 정육면체는 아래만 막힌다.
K.G.A.1Visualize Spatial Relationships전개도를 접어 마주 보는 짝 찾기
전개도를 접으면 어떤 수가 마주 보는지 정해진다.
정육면체 옆면을 빙 돌면 네 면 만에 제자리로 오므로, 띠에서 두 칸 떨어진 정사각형은 등을 맞대게 된다.
정육면체를 한 바퀴 돌면 네 면 만에 처음으로 돌아오므로, 띠에서 두 칸 떨어진 정사각형은 서로 등을 맞댄다.
▸ 왜?
네 옆면이 닫힌 고리를 이루므로, 네 걸음이면 처음 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
각 면은 정확히 하나의 맞은편 면을 지니므로, 짝짓기가 남김없이 이루어진다.
작은 두 수를 숨기는 방법 지우기
그 짝짓기가 가장 작은 두 수를 함께 숨기는 것을 막는다.
한 면을 가리면 그 짝도 따라 가려지므로, 마주 보는 짝이 큰 수라면 작은 수라도 싸게 숨겨지지 않는다.
6.G.A.4Eliminate Possibilities질문을 여집합으로 바꾸기
보이는 것을 최대로 하는 것은 가려지는 것을 최소로 하는 것이다.
수의 총량이 고정이니, 보이는 쪽을 올리는 것과 가려진 쪽을 내리는 것은 같은 동작이다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement가려진 합을 바닥까지 내리기
가려진 합은 25 아래로 내려갈 수 없다.
서로 얽히지 않은 세 번의 선택이라면 각각에서 가장 좋은 것을 동시에 고를 수 있다.
4.NBT.A.2Extreme Principle그 바닥에 닿는 탑 직접 만들기
실제 탑이 그 바닥에 닿아 164, 보기 (E).
25만 가리는 탑을 실제로 가리켜 보일 수 있으면, 하한은 추측이 아니라 답이 된다.
4.NBT.B.4Create A Physical Representation정육면체의 윗면과 밑면을 덮으면 언제나 마주 보는 두 면이 함께 가려지니까, 어떤 수는 그 맞은편 수와 세트로만 숨길 수 있다.
- 가려지는 다섯 면 찾기
- 전개도를 접어 마주 보는 짝 찾기
- 작은 두 수를 숨기는 방법 지우기
- 질문을 여집합으로 바꾸기
- 가려진 합을 바닥까지 내리기
- 그 바닥에 닿는 탑 직접 만들기
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