AMC 10 · 2008 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglecoordinate-geometryarea-differencearea-triangles coordinate-geometryarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglescoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

단위 정사각형의 한 변 위에 정삼각형이 서 있고 그 꼭짓점이 안쪽에 있다. 정사각형의 세로 띠 하나가 표시되어 있다. 그 띠에서 삼각형 밖에 있는 부분의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{12-5\sqrt3}{72}$

(B)

$\frac{12-5\sqrt3}{36}$

(C)

$\frac{\sqrt3}{18}$

(D)

$\frac{3-\sqrt3}{9}$

(E)

$\frac{\sqrt3}{12}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제의 모든 조건은 위치에 관한 것이므로, AD를 y축에 놓고 정사각형을 좌표평면에 올린다. 그러면 'AD까지의 거리'는 곧 x좌표가 되고, 말로만 설명된 띠는 1/3 ≤ x ≤ 2/3이라는 깔끔한 영역이 된다. R는 설명은 복잡해 보여도 사실은 띠에서 한 입 베어낸 모양이므로, 계산하기 쉬운 띠의 넓이를 구한 뒤 베어낸 부분을 빼면 된다. 베어낸 부분은 오각형인데, 이것은 직사각형 하나와 작은 삼각형 하나로 쪼개진다.

1STEP 1

정사각형을 좌표평면에 올리기

좌표가 띠를 단순한 범위로 바꾼다.

dist((x,y), AD) = x for 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

2STEP 2

E의 위치 정확히 정하기

꼭짓점의 높이는 정삼각형 조건이 정한다.

h² + (1/2)² = 1² → h=√3/2, E=(1/2, 1-√3/2)

3STEP 3

기울어진 두 변의 식 쓰기

기울어진 두 변이 띠 안에서 삼각형의 윤곽을 준다.

AE: y=1-√3 x, BE: y=1-√3 (1-x), △ ABE at x: 1-√3min(x,1-x) ≤ y ≤ 1

4STEP 4

삼각형은 바닥에 닿지 않는다

삼각형이 반대편에 닿지 않아 빼기가 깔끔하다.

[R] = [strip] - [△ ABE ∩ strip], [strip] = (2/3-1/3) · 1 = 1/3

5STEP 5

베어낸 부분을 직사각형과 삼각형으로 쪼개기

잘린 부분이 직사각형과 삼각형으로 나뉜다.

1/3·√3/3 + 1/2·1/3·√3/6 = √3/9+√3/36 = 5√3/36

6STEP 6

빼고 보기와 맞추기

빼면 (12-5√3)/36, 보기 (D).

[R] = 1/3-5√3/36 = (12-5√3)/36 ≈ 0.0928

정답

(12-5√3)/36

두 가지로 확인한다. 크기: (12-5√3)/36≈ 0.0928은 양수이고 띠 전체 1/3≈ 0.333보다 확실히 작으니, 남은 부분으로서 알맞다. 비율: 덜어낸 부분은 5√3/36≈ 0.2406이고 삼각형 전체 넓이는 √3/4≈ 0.4330이므로 삼각형의 약 56%이다. 이는 1/3보다 넉넉히 크고, 가운데 띠가 삼각형이 가장 넓은 부분을 정확히 잡아내므로 그래야 맞다. 만약 계산 결과가 삼각형의 삼분의 일보다 작게 나왔다면 어딘가 틀린 것이다.

💡핵심 정리

그림에 좌표를 씌우면 '한 변까지의 거리'가 x값으로 바뀐다. 그다음에는 남은 모양을 직접 쫓지 말고, 쉬운 띠에서 삼각형이 베어 간 부분을 빼면 된다.

정사각형을 좌표평면에 올리기
E의 위치 정확히 정하기
기울어진 두 변의 식 쓰기
삼각형은 바닥에 닿지 않는다
베어낸 부분을 직사각형과 삼각형으로 쪼개기
빼고 보기와 맞추기