AMC 10 · 2008 · #15

학년 10 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglesine-area-formulaangles-around-a-pointsymmetry-argument spatial-visualizationidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-trianglesangle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정사각형의 변 위에, 다시 새로 생긴 변 위에 삼각형을 세워 겹치지 않게 모두 열둘을 만든다. 이 도형을 감싸는 가장 작은 볼록다각형 안이면서 도형 밖인 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

(C)

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

$2 \sqrt{3}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

S에서 R을 뺀 부분은 전부 R의 경계와 S의 경계 사이의 빈틈에 들어 있으므로, 이것은 넓이 문제가 아니라 경계 문제다. 그래서 계획은 R의 경계를 꼭짓점 하나씩 따라 걸으면서, 각 점에서 R의 조각들이 360° 중 실제로 몇 도를 차지하는지 묻는 것이다. 180°를 쓰는 곳에서는 경계가 직선으로 지나가 빈틈이 없고, 360°에 못 미치는 곳에서는 쐐기가 남으며 그 쐐기가 바로 S가 메우는 부분이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 √(3)/2 하나에서 모든 꼭짓점의 좌표를 만들어 두면, 어떤 주장도 그림의 겉모습에 기대지 않는다. 도구 #1(그림 그리기)은 일을 다 하는 두 번의 각 계산을 제공한다. 도구 #14(극단의 원리)는 어느 꼭짓점이 S의 꼭짓점인지를 결정한다 — 흔히 한 줄로 "당연히 바깥 점들"이라고 넘어가는 이 단계가 이 문제가 실제로 걸려 있는 곳이며, 여덟 후보가 한 원 위에 있고 나머지 꼭짓점은 모두 그 원 안쪽에 있음을 보이면 곧바로 증명된다. 도구 #17(공간 상상하기)은 그림 전체의 사분의 일 회전을 이용해 네 빈틈이 합동임을 말해 주므로 계산을 네 번 하지 않아도 된다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)은 방향을 뒤집어 — R을 재고 S를 재서 빼는 — 첫 번째 길과 한 단계도 공유하지 않는 검산을 만든다.

1STEP 1

모든 꼭짓점을 좌표로 못 박기

좌표가 모든 꼭짓점을 정확히 못 박는다.

a=1/2, b=√(3)/2, bottom apexes (a,-b), (-a,-b), (1+a,-b), quarter turn (x,y)↦(1-y,x)

2STEP 2

삼각형 셋이 사다리꼴 하나로 합쳐진다

삼각형 셋이 한 직선 위에 있어 하나의 변으로 합쳐진다.

60°+60°+60°=180° ⟹ (-a,-b), (a,-b), (1+a,-b) collinear on y=-b

3STEP 3

정사각형 꼭짓점에서 각을 세어 보기

정사각형 꼭짓점에서의 각들이 작은 틈을 남긴다.

90°+4 · 60°=330°, 360°-330°=30°

4STEP 4

어느 점이 S의 꼭짓점인지 증명하기

거리 확인이 어느 점이 다각형의 꼭짓점인지 증명한다.

|(1+a,-b)-(1/2,1/2)|²=1²+((1+√(3))/2)²=2+√(3)/2 ＞ 1+√(3)/2 ＞ 1/2

5STEP 5

쐐기 하나의 넓이 재기

쐐기 하나의 넓이는 1/4이다.

[T]=1/2·(base 1)·(height 1/2)=1/4

6STEP 6

합동인 쐐기 넷

합동인 쐐기 넷이 1을 준다.

4·1/4=1

7STEP 7

두 영역을 각각 재서 검산하기

두 영역을 따로 재도 1이 확인된다, 보기 (A).

[R]=1+3√(3), [S]=(1+√(3))²-(2-√(3))=2+3√(3), [S]-[R]=1

정답

서로 다른 종류의 실수를 잡아내는 세 가지 확인. 크기: 빈틈 조각은 모두 길이 1인 두 변을 가진 삼각형이므로 넓이가 많아야 1/2이고 네 개를 합쳐도 2를 넘을 수 없다. 이것만으로 (E) 2√(3)≈ 3.46은 지워지고, 게다가 빈틈은 눈에 띄게 얇은 조각이므로 최대치에 가까운 값도 그럴듯하지 않다. 경계 모형의 일관성: R의 경계를 한 바퀴 돌면서 회전각을 더하면 360°가 되어야 한다. 여덟 개의 2차 꼭짓점에는 삼각형이 하나뿐이므로 내각이 60°, 회전각은 120°다. 네 개의 1차 꼭짓점에서는 2단계의 평각 180°가 내각이므로 회전각은 0°다. 네 개의 정사각형 꼭짓점에서는 내각이 330°이므로 회전각은 -150°다. 합은 8(120°)+4(0°)+4(-150°)=960°-600°=360°로 정확히 요구와 맞는다. 즉 1차 꼭짓점에서의 직선성과 정사각형 꼭짓점에서의 330°를 포함한 경계 서술이 내부적으로 모순이 없다. 선택지 읽기: (A) 1/4은 쐐기 하나로, 정사각형에 꼭짓점이 넷이라는 사실을 잊은 사람의 답이다. (B) √(2)/4은 1/2sin 45°로, 쐐기 하나에 사잇각을 45°로 짐작한 답이다. (D) √(3)은 4·√(3)/4, 곧 정삼각형 네 개의 넓이로, 빈틈도 그림의 나머지와 같은 모양이라고 가정한 사람의 답이다. 빈틈은 정삼각형이 아니며 바로 그것이 이 문제의 요점이다.

💡핵심 정리

각 꼭짓점에서 도형이 실제로 쓰는 각을 더해 보라. 한 바퀴에서 모자라는 만큼이 볼록껍질이 메우는 쐐기이고, 변이 1인 30° 쐐기 네 개는 정확히 1이 된다.

모든 꼭짓점을 좌표로 못 박기
삼각형 셋이 사다리꼴 하나로 합쳐진다
정사각형 꼭짓점에서 각을 세어 보기
어느 점이 S의 꼭짓점인지 증명하기
쐐기 하나의 넓이 재기
합동인 쐐기 넷
두 영역을 각각 재서 검산하기