AMC 10 · 2008 · #25

학년 10 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trapezoidsupplementary-anglespythagorean-theoremdifference-of-squaresisosceles-triangle coordinate-geometryidentify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trapezoidpythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

변을 아는 사다리꼴에서 이웃한 두 각의 이등분선이 각각 한 점에서 만난다. 그 두 점과 네 꼭짓점이 이루는 육각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$28\sqrt{3}$

(B)

$30\sqrt{3}$

(C)

$32\sqrt{3}$

(D)

$35\sqrt{3}$

(E)

$36\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 주도구인 이유는 이 문제를 여는 것이 계산이 아니라 보조선 두 개이기 때문이다. A와 B에서 CD로 수선을 내리면 두 다리가 직각삼각형이 되고, 각 이등분선을 반대쪽 평행변에 닿을 때까지 연장하면 이등변삼각형이 나타나 P와 Q의 위치를 정확히 못 박아 준다. 도구 #4(변수 도입하기)로 좌표를 잡으면 두 다리의 길이가 수선의 발 위치 a와 높이 h에 대한 두 방정식이 되고, 무엇보다 수선의 발이 어디에 떨어지는지에 대해 아무 가정도 하지 않아도 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 각각 깔끔하게 끝낼 수 있는 세 조각으로 나눈다. 높이 구하기, P와 Q 위치 잡기, 넓이 조립하기. 도구 #15(다르게 정리하기)는 검토 단계에서 독립적인 두 번째 경로를 제공한다. 사다리꼴에서 삼각형 두 개를 잘라내는 대신, 육각형을 PQ를 따라 갈라 작은 사다리꼴 두 개를 더한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 값싼 안전장치다. 높이는 짧은 쪽 다리로 막혀 있으므로 본격적인 계산 전에 선택지 하나가 이미 죽는다.

1STEP 1

긴 평행변 위에 좌표 잡기

긴 변 위의 좌표가 모든 것을 쓸 수 있게 한다.

D = (0,0), C = (19,0), A = (a, h), B = (a + 11, h), h ＞ 0

2STEP 2

두 다리를 두 방정식으로 바꾸기

두 다리가 두 방정식을 준다.

a² + h² = DA² = 49 (8 - a)² + h² = CB² = 25

3STEP 3

곱셈 공식으로 높이 뽑아내기

그것을 빼면 높이가 바로 나온다.

a² - (8-a)² = 24 ⟹ 8(2a - 8) = 24 ⟹ a = 11/2 h² = 49 - 121/4 = 75/4 ⟹ h = 5√(3)/2

4STEP 4

A와 D의 이등분선은 직각으로 만난다

보각이라 두 이등분선이 직각으로 만난다.

∠ DAB + ∠ ADC = 180° ⟹ ∠ PAD + ∠ PDA = 90° ⟹ ∠ APD = 90°

5STEP 5

이등분선을 연장해 P를 정확히 찾기

이등분선을 연장하면 각 교차 점이 정확히 정해진다.

∠ AWD = ∠ WAD ⟹ DW = DA = 7, AP = PW W = (7, 0), X = (14, 0), P = (25/4, 5√(3)/4), Q = (61/4, 5√(3)/4)

6STEP 6

육각형이 모서리 두 개를 자른 모양인지 확인하기

육각형은 사다리꼴에서 모서리 둘을 잘라 낸 것이고 서로 겹치지 않는다.

DW = 7 ＜ 14 = DX, △ ADW ⊂ {0 ≤ x ≤ 7}, △ BCX ⊂ {14 ≤ x ≤ 19} 조건: DA + CB = 12 ＜ 19 = DC

7STEP 7

세 넓이를 더하기

둘을 빼면 30√(3), 보기 (C).

[ABCD] = (11+19)/2h = 15h, [ADP] = 1/2·7h/2 = 7h/4, [BCQ] = 5h/4 [ABQCDP] = 15h - 7h/4 - 5h/4 = 12h = 12 · 5√(3)/2 = 30√(3)

정답

30√(3)

30√(3) ≈ 51.96이고 사다리꼴 전체는 15h ≈ 64.95이다. 육각형이 사다리꼴의 12h/15h = 4/5를 남겼으니 적당한 크기의 모서리 두 조각이 잘려 나간 셈으로, 규모가 맞는다. 계산 없이 선택지 하나가 정리된다. 두 평행선 사이의 거리는 어느 다리보다 클 수 없으므로 h ＜ BC = 5이고 육각형 넓이는 12h ＜ 60인데, (E) 36√(3) ≈ 62.35는 이를 넘는다. 나머지 선택지는 h의 정확한 값에서 갈리는데, h = 5√(3)/2는 맞춰 넣은 값이 아니라 강제된 값이다. 독립적인 수치 검산이 고리를 닫는다. A = (11/2, 5√(3)/2), B = (33/2, 5√(3)/2), Q = (61/4, 5√(3)/4), C = (19,0), D = (0,0), P = (25/4, 5√(3)/4)를 이 순서로 신발끈 공식에 넣으면 51.9615… = 30√(3)이 나온다. 함정 두 개를 짚어 둘 만하다. 첫째, "P는 AB, AD, CD에서 같은 거리에 있다"는 참이지만 논증의 절반일 뿐이다. 두 평행선까지의 거리가 같다는 사실이 P를 중간선에 못 박으려면 먼저 P가 그 둘 사이에 있다는 것을 알아야 하고, 그러려면 이등분선이 도형 안에서 만난다는 것을 보여야 한다. 둘째, [ABQCDP] = [ABCD] - [ADP] - [BCQ]는 자동이 아니다. 잘라내는 두 삼각형이 서로소여야 하고, 그것이 바로 위에서 확인한 부등식 DA + BC ＜ DC이다.

💡핵심 정리

각 이등분선을 반대쪽 평행변에 닿을 때까지 밀어 보라. 언제나 이등변삼각형이 만들어지고, 찾던 점은 정확한 중점으로 드러난다.

긴 평행변 위에 좌표 잡기
두 다리를 두 방정식으로 바꾸기
곱셈 공식으로 높이 뽑아내기
A와 D의 이등분선은 직각으로 만난다
이등분선을 연장해 P를 정확히 찾기
육각형이 모서리 두 개를 자른 모양인지 확인하기
세 넓이를 더하기