AMC 10 · 2008 · #4

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorangles-around-a-pointarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

원 위의 두 점이 지름의 양 끝에서 잰 각으로 주어져 있다. 둘 사이의 작은 부채꼴이 원의 얼마를 차지하는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {2}{9}$

(B)

$\frac {1}{4}$

(C)

$\frac {5}{18}$

(D)

$\frac {7}{24}$

(E)

$\frac {3}{10}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

주어진 두 각은 각각 OA와 OB라는 서로 다른 반직선에서 잰 값이라 그대로는 합칠 수 없다. 원을 그리고 OA 같은 반직선 하나를 기준선으로 정하자. 그러면 모든 반지름은 "OA에서 얼마나 돌아야 닿는가"라는 숫자 하나를 갖는다. OC와 OD가 같은 눈금판 위의 숫자가 되면, 둘 사이의 각은 뺄셈이 된다. C와 D가 같은 쪽에 있다는 조건이야말로 한 눈금판에 둘을 함께 올릴 수 있게 해 주는 조건이므로, 건너뛰지 말고 반드시 써야 한다.

1STEP 1

기준이 되는 반직선 하나를 정한다

한 반직선을 0으로 정하면 두 점이 한 눈금판에 놓인다.

OA ↦ 0°, OB ↦ 180°

2STEP 2

C와 D를 눈금판 위에 올린다

둘째 각은 그 눈금판으로 뒤집어야 한다.

OC ↦ 30°, OD ↦ 180° - 45° = 135°

3STEP 3

빼고 나서 겹침이 없는지 확인한다

빼면 각이 나오고 조각들이 제대로 합쳐진다.

∠ COD = 135° - 30° = 105°, 30° + 105° + 45° = 180°

4STEP 4

두 부채꼴 중 어느 쪽이 작은가

그 부채꼴이 실제로 둘 중 작은 쪽이다.

105° + 255° = 360°, 105 ＜ 255

5STEP 5

부채꼴 넓이는 각이 차지하는 몫이다

부채꼴의 넓이는 각이 차지하는 몫일 뿐이다.

부채꼴/원 = (105/360π r²)/(π r²) = 105/360

6STEP 6

약분해서 보기와 맞춘다

약분하면 7/24, 보기 (B).

105/360 = (105 ÷ 15)/(360 ÷ 15) = 7/24

정답

7/24

먼저 크기 확인. 105°는 4분의 1바퀴(90°)보다 조금 크고 3분의 1바퀴(120°)보다는 확실히 작으므로, 비는 1/4 = 0.25와 1/3 ≈ 0.333 사이에 있어야 한다. 7/24 ≈ 0.2917은 그 안에 들어간다. 다음은 존재 확인인데, 각을 따라가는 풀이는 그릴 수 없는 그림을 그럴듯하게 서술할 수 있으므로 중요하다. O를 원점, 반지름을 1로 두고 A = (1,0), B = (-1,0), C = (cos 30°, sin 30°), D = (cos 135°, sin 135°)로 잡자. C와 D의 높이가 모두 양수이므로 둘은 실제로 AB의 같은 쪽에 있고, 두 각도 실제로 30°와 45°이다. 그러므로 이 배치는 실제로 존재하며, 답은 식만 앞뒤가 맞는 것이 아니라 진짜 그림을 설명한다.

💡핵심 정리

모든 반지름을 같은 기준 반직선에서 재면 원하는 각은 뺄셈 한 번으로 나오고, 부채꼴은 그 각이 360°에서 차지하는 몫일 뿐이다.

기준이 되는 반직선 하나를 정한다
C와 D를 눈금판 위에 올린다
빼고 나서 겹침이 없는지 확인한다
두 부채꼴 중 어느 쪽이 작은가
부채꼴 넓이는 각이 차지하는 몫이다
약분해서 보기와 맞춘다