AMC 10 · 2009 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlesinradiuspythagorean-theorem area-differenceeasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-circles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
변의 개수가 다른 두 정다각형의 변의 길이가 같다. 각각 외접원과 내접원 사이에 고리가 생긴다. 두 고리의 넓이를 비교하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$A = \frac {25}{49}B$
(B)
$A = \frac {5}{7}B$
(C)
A = B
(D)
$A= \frac {7}{5}B$
(E)
$A = \frac {49}{25}B$
풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 대부분의 일을 한다. 중심과 변 하나, 그리고 중심에서 그 변에 내린 수선으로 이루어진 그림 한 장에 두 반지름이 동시에 담기고, 두 원의 중심이 같다는 사실도 드러난다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 그 그림을 피타고라스 정리로 R²-r²=1이라는 식으로 바꾸는데, 바로 이때 변의 개수가 사라진다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 중요한 이유는, 자연스러운 충동이 정오각형과 정칠각형 각각에 대해 R과 r을 따로 구하는 것이기 때문이다. 고리의 넓이에 필요한 것은 차 R²-r²뿐이므로 반지름을 하나씩 구하는 일은 헛수고다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 힘을 발휘한다. 변의 개수가 식에 전혀 들어오지 않으므로, 변의 길이가 2인 일반 정다각형에 대해 증명하는 편이 두 특정 다각형을 따로 푸는 것보다 쉽다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 읽는다. 다섯 중 넷은 5와 7로 만든 비인데, 위 유도는 답이 변의 개수에 전혀 의존할 수 없음을 보여 준다.

1STEP 1

두 원의 중심은 하나다

두 원이 하나의 중심을 공유한다.

고리의 넓이=π R²-π r²
2STEP 2

접점은 변을 반으로 나눈다

닿는 점이 변을 반으로 나눈다.

XT=TY=1, OT=r, OX=R
3STEP 3

피타고라스가 변의 개수를 지운다

피타고라스 정리가 변의 개수를 지운다.

r²+1²=R² ⟹ R²-r²=1
4STEP 4

반지름 말고 차를 쫓기

반지름 대신 차를 좇으면 고정된 넓이가 나온다.

π R²-π r²=π(R²-r²)=π · 1=π
5STEP 5

한 번의 계산이 두 다각형을 모두 덮는다

한 번의 계산이 두 다각형을 모두 덮는다.

A=π 이고 B=π
6STEP 6

비교하고 선택지 고르기

따라서 둘은 같다, 보기 (C).

A/B=π/π=1 ⟹ A=B (C)
정답
A = B
확인을 위해 두 고리를 따로, 수치로 계산해 보자. 정오각형은 한 변이 중심에서 360°/5=72°를 마주하므로 삼각형 OTX에서 O의 각은 36°이고, R=1/(sin 36°)≈ 1.70130, r=1/(tan 36°)≈ 1.37638이다. 그러면 π R²-π r²≈π(2.89443-1.89443)=π이다. 정칠각형에서는 그 각이 180°/7≈ 25.714°이고 R≈ 2.30477, r≈ 2.07652이므로 π R²-π r²≈π(5.31193-4.31193)=π이다. 네 반지름이 모두 다른데도 두 고리 모두 π≈ 3.14159로 나오므로 A=B이고 선택지 (C)가 성립한다. 무엇이 이를 증명하는지는 분명히 해 두어야 한다. 변이 2인 정사각형은 2π-π=π, 변이 2인 정삼각형은 4π/3-π/3=π로 역시 π가 나와 그럴듯해 보이지만, 몇 가지 예시는 힌트일 뿐 다른 다각형이 다르게 행동할 가능성을 배제하지 못한다. 증명은 세 번째 단계다. 거기서 일반 정n각형에 대해 R²-r²=1을 유도했고 식에 변의 개수가 없었다.
💡핵심 정리

정다각형의 두 원 사이 고리는 넓이가 π 곱하기 변의 절반의 제곱이므로, 변이 2이면 그런 고리는 언제나 정확히 π이다. 정오각형의 고리와 정칠각형의 고리가 같아져 A=B, 곧 선택지 (C)이다.

  • 두 원의 중심은 하나다
  • 접점은 변을 반으로 나눈다
  • 피타고라스가 변의 개수를 지운다
  • 반지름 말고 차를 쫓기
  • 한 번의 계산이 두 다각형을 모두 덮는다
  • 비교하고 선택지 고르기

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