AMC 10 · 2009 · #22

학년 10 geometry-3d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-regular-hexagonsimilar-figurescoordinate-geometry spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: spatial-visualization
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
마주 보는 두 면과 평행한 평면이 정팔면체를 합동인 두 입체로 자른다. 단면의 넓이를 나타내는 수들의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
11
(C)
12
(D)
13
(E)
14
풀이 과정
전략 공간 상상하기

정팔면체를 고정된 좌표 틀에 올려놓기 전에는 아무것도 잴 수 없으므로, 첫 수는 세 개의 대각선을 좌표축으로 삼아 입체를 세우는 것이다. 그러면 여덟 개의 면이 모두 간단한 평면이 되고, 고른 면 쌍과 평행한 평면은 수 하나로 표현된다. 남는 작은 문제는 둘이다. 그 수를 확정하는 것(합동 조건이 해 주는데, 대부분 이 단계를 건너뛴다), 그리고 다각형을 찾는 것. 다각형의 꼭짓점만 찾으면 변의 길이와 넓이는 평범한 평면기하다.

1STEP 1

정팔면체를 좌표축에 올리기

축이 그 입체에 깔끔한 서술을 준다.

vertices (± s,0,0),(0,± s,0),(0,0,± s); edge=s√(2)=1; solid={|x|+|y|+|z| ≤ s}
2STEP 2

평행한 자름면들의 무리 적기

평행한 절단면이 매개변수 하나의 무리를 이룬다.

Pi_k: x+y+z=k, -s ＜ k ＜ s
3STEP 3

합동 조건이 자름면을 중심으로 밀어붙인다

점대칭이 절단을 중심으로 강제한다.

Pi₀: x+y+z=0; (x,y,z)↦(-x,-y,-z) maps the solid to itself and swaps {x+y+z ≥ 0} and {x+y+z ≤ 0}
4STEP 4

평면이 겉면과 만나는 곳 찾기

그 평면이 겉면과 여섯 점에서 만난다.

M₁=(s/2,-s/2,0), M₂=(s/2,0,-s/2), M₃=(0,s/2,-s/2), M₄=(-s/2,s/2,0), M₅=(-s/2,0,s/2), M₆=(0,-s/2,s/2)
5STEP 5

모든 변은 모서리의 절반

생기는 모든 변이 모서리의 절반이다.

|M₁M₂|=|(0,s/2,-s/2)|=s/√(2)=s√(2)/2=1/2
6STEP 6

육각형이 정육각형임을 보이기

중심까지의 거리가 같아 정다각형이 된다.

|OM_i|=√((s/2)²+(s/2)²)=s/√(2)=1/2; 6 × 60°=360°
7STEP 7

육각형의 넓이 구하기

넓이는 표준 공식에서 따라 나온다.

[hexagon]=6·√(3)/4(1/2)²=6·√(3)/16=3√(3)/8
8STEP 8

요구된 꼴에 맞추고 더하기

요구된 꼴에 맞춰 더하면 14, 보기 (E).

3√(3)/8=a√(b)/c→ a=3, b=3, c=8; gcd(3,8)=1; a+b+c=14
정답
14
수치로 보면 3 루트 3을 8로 나눈 값은 약 0.650이다. 면 하나의 넓이는 루트 3을 4로 나눈 값으로 약 0.433이고, 중심을 지나는 가장 큰 평평한 단면은 한 변이 1인 정사각형 적도면으로 넓이가 1이므로, 가운데 단면이 0.433과 1 사이에 있는 것은 크기가 맞다. 다른 방법으로 다시 계산해도 같은 값이 나온다. 육각형을 xy평면으로 곧장 내리비추면 그림자의 꼭짓점은 (s의 절반, 마이너스 s의 절반), (s의 절반, 0), (0, s의 절반) 등이 되고, 신발끈 공식으로 그림자 넓이는 3 곱하기 s 제곱을 4로 나눈 값, 곧 s 제곱이 2분의 1이므로 8분의 3이다. 자름면의 단위법선은 (1,1,1)을 루트 3으로 나눈 것이라 xy평면과 이루는 각의 코사인이 1을 루트 3으로 나눈 값이고, 그림자는 넓이를 정확히 그 코사인만큼 줄인다. 따라서 실제 넓이는 8분의 3을 1 나누기 루트 3으로 나눈 값, 곧 3 루트 3을 8로 나눈 값이 되어 답 14, 보기 (E)와 맞는다. 하나 더 확인하면, 꼭짓점까지의 거리가 2분의 1로 나왔는데 이는 모서리가 1인 정팔면체의 중간구 반지름(모서리의 절반)과 일치한다.
💡핵심 정리

정팔면체를 세 대각선 위에 세우고, 합동이라는 말에서 자름면이 중심을 지난다는 것을 읽어내면, 단면은 한 변이 모서리의 절반인 정육각형이 된다.

  • 정팔면체를 좌표축에 올리기
  • 평행한 자름면들의 무리 적기
  • 합동 조건이 자름면을 중심으로 밀어붙인다
  • 평면이 겉면과 만나는 곳 찾기
  • 모든 변은 모서리의 절반
  • 육각형이 정육각형임을 보이기
  • 육각형의 넓이 구하기
  • 요구된 꼴에 맞추고 더하기

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