AMC 10 · 2011 · #17
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
숫자 세 개를 주고 넓이를 묻는 문제이므로 첫 수는 도구 #1(그림 그리기)이다. 단, 꼼꼼하게 그려야 한다. 이 문제의 핵심은 그냥 넘어가기 쉬운, 그러나 증명할 가치가 있는 사실 하나에 달려 있다: 두 원이 외접할 때 접점은 아무 데나 떠 있지 않고, 두 중심을 잇는 선분 위에, 각 중심으로부터 정확히 반지름만큼 떨어진 곳에 있다. 이것을 못 박고 나면 세 중심 사이의 거리가 3, 4, 5로 강제되고, 그림이 굳어지며, 비로소 "그 넓이"라는 것이 존재하게 된다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)로 굳어진 그림을 좌표로 다시 적으면 "세 번째 접점은 어디인가?"가 계산 문제로 바뀐다. 마무리는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 기울어진 삼각형은 재기 어렵지만, 그것을 감싼 직사각형에서 직각삼각형 세 조각을 빼는 것은 쉽다.
두 원이 닿는 자리를 못 박기
각 접점은 중심선 위에 있다.
겨우 스치듯 닿는 두 원은 반지름이 허락하는 한 최대로 멀어져 있으므로, 접점은 두 원이 아직 닿을 수 있는 중심선 위의 단 한 자리다.
겨우 맞닿은 두 원은 반지름이 허락하는 만큼 떨어져 있으므로, 닿는 점은 중심을 잇는 직선 위에 있다.
▸ 왜?
닿는 점은 중심을 잇는 선분 위에 있으므로, 그 선분은 두 반지름을 이어 붙인 것이다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 등장하는 길이는 그 두 반지름뿐이다.
중심들이 3-4-5 삼각형을 이룬다
중심들이 직각삼각형을 이룬다.
반지름만으로 중심 사이 거리가 모두 정해지는데, 그 거리들이 하필 가장 유명한 직각삼각형을 이룬다.
8.G.B.6Draw A Diagram직각을 좌표축 위에 올리기
직각을 축에 놓으면 두 점이 정해진다.
직각을 좌표평면의 모퉁이에 얹으면 세 접점 중 둘이 아무 계산 없이 축 위에 떨어진다.
6.G.A.3Organize Information In More Ways빗변을 5분의 2만큼 걷기
셋째는 빗변 위의 어느 지점에 있다.
길이 5인 선분에서 2만큼 간 것은 전체 여정의 5분의 2이므로, 두 좌표도 똑같이 5분의 2만큼 미끄러진다.
8.G.B.8Organize Information In More Ways직사각형으로 감싸고 모퉁이 세기
삼각형을 감싸면 모퉁이 조각 셋이 남는다.
기울어진 삼각형은 정면으로 재기 까다롭지만, 그것을 감싼 직사각형과 모퉁이에 남는 직각 조각들은 모두 한 번에 넓이가 나온다.
6.G.A.1Identify Subproblems모퉁이 셋을 빼기
그것을 빼면 6/5, 보기 (D).
모든 조각을 같은 분모로 적어 놓으면 그림 전체가 뺄셈 한 번으로 접힌다.
5.NF.A.1Identify Subproblems바깥에서 닿는 원들은 두 중심을 잇는 선 위에서 만나므로 세 반지름만으로 그림 전체가 고정된다 — 중심 사이 거리는 3, 4, 5, 접점은 (1,0), (0,1), (9/5, 8/5), 그리고 직사각형에서 모퉁이 셋을 빼면 6/5이다.
- 두 원이 닿는 자리를 못 박기
- 중심들이 3-4-5 삼각형을 이룬다
- 직각을 좌표축 위에 올리기
- 빗변을 5분의 2만큼 걷기
- 직사각형으로 감싸고 모퉁이 세기
- 모퉁이 셋을 빼기
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