AMC 10 · 2011 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #14(극단의 원리): 최댓값을 묻는 문제이고, 최댓값 주장에는 반드시 두 부분이 다 필요하다 — 어떤 모양도 넘을 수 없는 천장, 그리고 그 천장에 실제로 닿는 하나의 모양. 두 번째를 빼먹는 것이 이 문제의 전형적인 함정이다. '당연히 원은 네 변에 다 닿고 사각형은 원에 내접하겠지'라고 선언하고 계산하고 싶어지지만, 바로 그 가정이 증명해야 할 대상이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 원의 중심에서 사각형을 네 삼각형으로 자르면 '원이 얼마나 큰가'가 '넓이가 얼마나 되는가'로 바뀌고, 이것이 천장을 만들어 내는 결정적 수순이다. 도구 #4(변수 도입하기): 접점까지의 길이 하나를 t로 두면 내접원 후보가 손잡이 하나짜리 집합이 되고, 식 하나가 그 손잡이를 고정한다. 도구 #1(그림 그리기): 마지막 존재 확인은 그림 문제다 — 네 모퉁이 조각이 중심 둘레를 정확히 한 바퀴 감는가?
안에 든 원은 넓이를 요구한다
안쪽 원은 둘레에 비례한 넓이를 요구한다.
반지름 r인 원은 모든 벽에서 최소 r의 여유를 요구하고, 둘레 42 전체에 그 여유를 사는 데는 넓이가 든다.
6.G.A.1Identify Subproblems파인 모양은 즉시 탈락한다
파인 모양은 즉시 탈락한다.
파인 사각형은 가장 긴 두 벽이 만드는 삼각형 안에 갇히는데, 그 삼각형은 큰 원을 담기에 너무 얇다.
11.G-SRT.D.9Extreme Principle사각형의 넓이에 상한을 씌운다
넓이 자체에도 자기 천장이 있다.
접었다 펴는 동작은 빼는 코사인 항만 움직이므로, 마주 보는 두 각의 합이 평각이 될 때 틀이 가장 넓게 퍼진다.
틀을 구부리면 코사인 항만 움직이므로, 마주 보는 각의 합이 평각일 때 가장 넓게 벌어진다.
▸ 왜?
변이 정해져 있으면 대각선과 넓이는 오직 꼭짓점의 각에 매인다.
▸ 왜?
마주 보는 각의 합이 평각이라는 것은 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓인다는 조건과 같다.
두 천장을 이어 붙인다
두 한계를 이으면 하나의 수가 나온다.
원의 크기는 넓이에, 넓이는 내접 사각형 모양에 막히므로 두 천장이 하나의 숫자로 포개진다.
9.A-CED.A.1Extreme Principle등호는 두 가지를 동시에 요구한다
등호는 마주 보는 변이 균형을 이룰 것을 요구한다.
두 천장은 한 도형이 둘 다 만족할 때만 함께 닿을 수 있고, 마주 보는 변의 합이 같다는 것이 내접원이 가능하다는 신호다.
10.G-C.A.2Introduce A Variable접점을 구한다
접점이 작은 방정식 하나를 만족한다.
네 접점을 미는 것은 손잡이 하나이고, 마주 보는 각을 보각으로 만들라는 조건이 그 손잡이를 단 한 눈금에 세운다.
9.A-REI.B.3Introduce A Variable조각들이 닫히는지 확인한다
그 모양이 실제로 닫히므로 반지름은 2√6이다.
반지름 값을 말하는 것만으로는 부족하다 — 네 모퉁이 조각이 중심 둘레를 정확히 한 바퀴 채워야 하고, 여기서는 실제로 그렇게 된다.
10.G-SRT.C.8Draw A Diagram반지름 r인 원은 모든 벽에서 r만큼의 여유가 필요하므로 r는 넓이를 반둘레로 나눈 값을 결코 넘을 수 없다 — 그다음 할 일은 그 천장에 정확히 닿는 단 하나의 모양을 찾는 것이다.
- 안에 든 원은 넓이를 요구한다
- 파인 모양은 즉시 탈락한다
- 사각형의 넓이에 상한을 씌운다
- 두 천장을 이어 붙인다
- 등호는 두 가지를 동시에 요구한다
- 접점을 구한다
- 조각들이 닫히는지 확인한다
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