AMC 10 · 2011 · #25

학년 11 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

inscribed-anglearc-measuresine-area-formula extreme-principleidentify-subproblems ↑ 선수 지식: inscribed-angle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

삼각형의 세 중심과 두 꼭짓점이 오각형을 이루고 그 넓이를 최대로 하려 한다. 그렇게 만드는 각을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$60^{\circ}$

(B)

$72^{\circ}$

(C)

$75^{\circ}$

(D)

$80^{\circ}$

(E)

$90^{\circ}$

풀이 과정

전략 극단의 원리

최댓값을 묻는 문제이므로 도착점은 극단의 원리, 즉 이기는 배치의 모양을 찾는 것이다. 거기까지 가려면 준비가 필요하다. B의 각을 유일한 변수로 이름 붙이면 이 삼각형 족이 일차원임이 드러난다. ∠ BOC, ∠ BIC, ∠ BHC를 따로 구하는 것은 세 개의 작은 문제이고, 세 값이 모두 120^°로 나오는 순간 다섯 점을 흩어진 다섯 개가 아니라 하나의 원으로 다시 정리하라는 신호가 된다. 고정된 원 위에서는 오각형의 넓이가 호에 대한 사인의 합으로 바뀌는데, 이것이 대칭적인 답을 가진 더 쉬운 문제이고, 이긴 호 배치에서 거꾸로 올라가면 각이 나온다.

1STEP 1

B의 각 범위를 확정한다

자유로운 각은 좁은 범위에 갇힌다.

B + C = 120^°, AC ≥ AB → B ≥ C → 60^° ≤ B ≤ 90^°

2STEP 2

내심과 수심은 BC를 120도로 본다

두 중심이 고정된 변을 같은 각으로 본다.

∠ BIC = 180^° - (B+C)/2 = 120^°, ∠ BHC = 180^° - ∠ BAC = 120^°

3STEP 3

외심도 같으므로 다섯 점이 한 원 위에 있다

셋째도 같아서 다섯 점이 한 원 위에 있다.

∠ BOC = ∠ BIC = ∠ BHC = 120^°

4STEP 4

그 원은 변하지 않는다

그 원은 크기가 결코 변하지 않는다.

r = 1/(2sin 120^°) = 1/√(3), R = 1/(2sin 60^°) = 1/√(3)

5STEP 5

다섯 점을 호로 배치한다

각 점이 자기 호로 배치된다.

arc CO = 60^°, arc CI = B, arc CH = 2B - 60^°, arc CB = 120^°

6STEP 6

움직일 수 있는 것은 I와 H뿐이다

다섯 중 실제로 움직이는 것은 둘뿐이다.

[BCO] = √(3)/12 (constant), [BCOIH] = [BCO] + [BOIH]

7STEP 7

다각형 넓이를 활꼴로 바꾼다

넓이가 호의 사인들의 합이 된다.

[BCOIH] = 1/2r²(sinα + sinβ + sinγ) = (sinα + sinβ + sinγ)/6

8STEP 8

호가 똑같을 때 이긴다

그 합은 호가 같을 때 가장 크다.

sinα + sinβ = 2sin(α+β)/2cos(α-β)/2 ≤ 2sin(α+β)/2, max(sinα+sinβ+sinγ) = 3sin 20^°

9STEP 9

B의 각으로 거꾸로 돌아간다

거꾸로 돌아가면 80도, 보기 (D).

t = 20^° → ∠ CBA = 60^° + t = 80^°

정답

80^°

α = β는 식을 대칭으로 만들려고 몰래 끼워 넣은 가정이 아니라 호 계산에서 저절로 떨어져 나온 결과이고, 제한 없는 최적점 (20^°, 20^°, 20^°)이 마침 그 조건을 만족한다. 이 점이 중요한 이유는 I와 H를 호 위에서 마음대로 끌고 다닐 수 없기 때문이다. 두 점은 삼각형이 결정한다. 자유로운 최적점이 삼각형이 실제로 그리는 일변수 족 안에 들어오므로 구한 값은 진짜 최댓값이다. 직접 확인해도 같다. t = ∠ CBA - 60^°로 두면 넓이는 (2sin t + sin(60^° - 2t))/6이고, 이 값은 60^°에서 약 0.1443, 72^°에서 0.1673, 75^°에서 0.1696, 80^°에서 0.1710, 90^°에서 0.1667이므로 (D)가 다른 모든 선택지를 이긴다. 양 끝은 어차피 퇴화한다. 60^°에서는 삼각형이 정삼각형이 되어 O, I, H가 한 점으로 뭉치고, 90^°에서는 수심이 B 위로 떨어진다. 두 경우 모두 넓이가 더 작으므로 최댓값은 안전하게 내부에 있다.

💡핵심 정리

∠ A가 60^°이기 때문에 세 중심 O, I, H는 모두 BC를 120^°로 바라보고, 그래서 B, C와 함께 절대 변하지 않는 한 원 위에 놓인다. 그러면 오각형의 넓이는 합이 언제나 60^°인 세 호의 사인의 합의 1/6일 뿐이고, 그 합은 세 호가 같을 때 가장 크다.

B의 각 범위를 확정한다
내심과 수심은 BC를 120도로 본다
외심도 같으므로 다섯 점이 한 원 위에 있다
그 원은 변하지 않는다
다섯 점을 호로 배치한다
움직일 수 있는 것은 I와 H뿐이다
다각형 넓이를 활꼴로 바꾼다
호가 똑같을 때 이긴다
B의 각으로 거꾸로 돌아간다