AMC 10 · 2012 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-regular-hexagonarea-difference complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정육각형 꼭짓점을 중심으로 하는 같은 호들이 닫힌 곡선을 이룬다. 둘러싼 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi+6$

(B)

$2\pi+4\sqrt{3}$

(C)

$3\pi+4$

(D)

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

(E)

$\pi+6\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

곡선은 불규칙하지만, 그 조각들은 모두 정육각형 꼭짓점을 중심으로 하는 원호이다. 그래서 계산할 수 있는 조각들로 넓이를 쌓아 올리는 것이 정직한 방법이다(도구 #7). 중심들을 연결한 정육각형을 그려(도구 #1) 기준 넓이로 삼는다. 그다음 구불구불한 경계를 직접 좇는 대신, 곡선을 '정육각형에 바깥쪽 볼록 세 개를 더하고 안쪽 오목 세 개를 뺀 것'으로 다시 바라본다(도구 #16). 더하거나 빼는 조각은 모두 부채꼴이므로, 전체 답은 '정육각형 넓이 + 바깥 부채꼴 − 안쪽 부채꼴'이 된다.

1STEP 1

원호의 반지름 구하기

호의 길이가 반지름 1을 준다.

2π r = 3·2π/3=2π → r = 1

2STEP 2

중심 정육각형의 넓이

육각형 자체의 넓이는 6√3이다.

정육각형 = 6·√(3) = 6√(3)

3STEP 3

곡선을 정육각형과 견주기

곡선은 육각형에 부푼 곳을 더하고 파인 곳을 뺀 것이다.

넓이 = 6√(3) + (바깥) - (안쪽)

4STEP 4

부채꼴 넓이 계산

둘 다 단순한 부채꼴이다.

안쪽=3·π/3=π, 바깥=3·2π/3=2π

5STEP 5

모두 더하기

더하면 π+6√3, 보기 (E).

6√(3) - π + 2π = π + 6√(3) → (E) π+6√(3)

정답

π+6√(3)

이 구성이 쓰는 원호 개수를 세어 보자: 안쪽 120° 호 세 개(3개)와 바깥쪽 240° 볼록 세 개(각각 120° 호 두 개로 이루어짐, 6개)를 합하면 3+6=9개로, 길이가 각각 2π/3인 원호 9개라는 조건과 정확히 맞는다. 넓이 π+6√(3)≈ 3.14+10.39=13.53은 정육각형의 6√(3)≈ 10.39보다 조금 크며, 이는 바깥 볼록이 안쪽 오목을 이기는 도형과 들어맞는다. 선택지 중 (E)만이 정육각형의 6√(3)에 홀로 남은 π를 지녀, 원 하나만큼 남는 우리 결과와 일치한다.

💡핵심 정리

원호 중심들을 지나는 정육각형을 그리고(6√(3)), 곡선을 그 정육각형에 바깥 볼록 세 개를 더하고(2π) 안쪽 오목 세 개를 뺀 것(π)으로 보라. 볼록이 원 하나만큼 이겨서 (E) π+6√(3)이 된다.

원호의 반지름 구하기
중심 정육각형의 넓이
곡선을 정육각형과 견주기
부채꼴 넓이 계산
모두 더하기

원호의 반지름 구하기

중심 정육각형의 넓이

곡선을 정육각형과 견주기

부채꼴 넓이 계산

모두 더하기

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