AMC 10 · 2013 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

rotation-isometrycircular-sectorarea-trianglescoordinate-geometry spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rotation-isometrycircular-sector

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정사각형을 중심이 아닌 점에 고정하고 사분의 일 바퀴 돌린다. 쓸고 지나간 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 공간 상상하기

도구 #17(공간 상상하기)이 주도구다. 넓이를 재야 할 대상 자체가 움직임으로 정의되어 있어서, 회전하는 정사각형이 남긴 자취를 확정하기 전에는 아무것도 계산할 수 없기 때문이다. 그런데 이 문제가 사람을 무너뜨리는 지점이 바로 그 자취를 눈대중으로 보는 데 있다. 그림은 어떤 볼록한 부분이 튀어나오는지 짐작하게 해 줄 뿐, 그 밖에 튀어나오는 것이 없다는 사실은 증명해 주지 않는다. 짐작한 그림으로 쌓아 올린 넓이는 한 조각을 통째로 빠뜨리거나 한 조각을 두 번 세고도 티가 나지 않는다. 그래서 도구 #15(다르게 정리하기)가 그림을 증명 가능한 것으로 바꾸는 결정적 수를 제공한다. 정사각형을 네 꼭짓점으로 기술하기를 그만두고, P에서 각 방향으로 얼마나 멀리 뻗는지로 기술하는 것이다. 이렇게 보면 회전은 그 뻗는 거리 자료를 방향만 밀어 옮기는 일이 되고, 쓸고 지나간 영역이 어느 방향으로 뻗는 거리는 마지막 90^° 동안의 최댓값이 된다. 인상이 아니라 정확한 식이다. 이어서 도구 #14(극단의 원리)가 방향마다 무엇이 가장 바깥에 있는지, 꼭짓점인지 변인지를 실제로 판정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그렇게 얻은 경계를 원호와 직선 변으로 잘라 넓이를 부채꼴과 삼각형의 합으로 바꾸고, 도구 #1(그림 그리기)은 모든 대상에 좌표를 달아 각 주장을 산술로 검산할 수 있게 한다.

1STEP 1

정사각형을 좌표평면에 놓기

좌표가 모든 거리를 분명히 한다.

P=(1,1), AP=√(2), PC=√(6), AC=√(6)+√(2)

2STEP 2

핀에서의 거리를 모두 재 두기

네 꼭짓점이 아는 각에 놓인다.

PA=√(1²+1²)=√(2) (방향 225^°), PB=√((√(3))²+1²)=2 (방향 330^°), PC=√((√(3))²+(√(3))²)=√(6) (방향 45^°), PD=√(1²+(√(3))²)=2 (방향 120^°)

3STEP 3

끝나는 자리와 공짜로 얻는 대칭

회전이 공짜 대칭도 준다.

(x,y)↦(2-y, x); 처음 [0,√(3)+1]² ⟼ 마지막 [1-√(3),2]×[0,√(3)+1]

4STEP 4

정사각형을 뻗는 거리로 기술하기

정사각형은 방향마다의 도달 거리다.

정사각형 = { P + r u(φ) : 0 ≤ r ≤ ρ(φ) }, ρ(45^°)=√(6), ρ(120^°)=ρ(330^°)=2, ρ(225^°)=√(2)

5STEP 5

쓸고 지나간 거리는 구간 최댓값

쓸고 지나가면 구간 최댓값이 된다.

M(φ)=max₀^° ≤ θ ≤ 90^°ρ(φ-θ), 쓸고 지나간 영역={ r ≤ M(φ) }

6STEP 6

어느 꼭짓점이 얼마 동안 이기는지 판정하기

각 꼭짓점이 정해진 구간 동안 이긴다.

C: & r=√(6), & 45^°→135^°, & 90^° ; D: & r=2, & 150^°→210^°, & 60^° ; A: & r=√(2), & 225^°→315^°, & 90^° ; B: & r=2, & 330^°→30^°, & 60^°

7STEP 7

네 개의 부채꼴 더하기

그러면 부채꼴이 넷 생긴다.

90/360π(√(6))²+90/360π(√(2))²+2·60/360π(2)²=3π/2+π/2+2·2π/3=2π+4π/3=10π/3

8STEP 8

네 개의 평평한 쐐기 더하기

평평한 쐐기 넷이 나머지를 채운다.

2·1/2√(3)(√(3)-1)+2·1/2(1)(√(3)-1)=(3-√(3))+(√(3)-1)=2

9STEP 9

여덟 조각 합치기

합치면 깔끔한 식 하나가 된다.

넓이=10π/3+2=1/3(10π+6)

10STEP 10

a, b, c 확정하기

꼴에 맞추면 19, 보기 (C).

gcd(10,6,3)=1 → a+b+c=10+6+3=19 → (C)

정답

수치로 보면 넓이는 10π/3+2≈ 12.47이고, 이 값은 쉽게 얻는 두 경계 사이에 있어야 한다. 아래로는 쓸고 지나간 영역이 처음과 마지막 정사각형을 모두 포함한다. 두 정사각형은 직사각형 [0,2]×[0,√(3)+1]에서 겹치므로 합집합의 넓이는 2(√(3)+1)²-2(√(3)+1)=6+2√(3)≈ 9.46이다. 위로는 정사각형의 모든 점이 핀에서 최대 PC=√(6) 떨어져 있고 회전이 그 거리를 보존하므로, 자취 전체가 반지름 √(6)인 원판 안에 들어가며 그 넓이는 6π≈ 18.85이다. 실제로 9.46 ＜ 12.47 ＜ 18.85이다. 구조적인 확인도 세 가지가 맞아떨어진다. 경계를 이루는 여덟 조각의 방향 범위는 90+15+60+15+90+15+60+15=360도로 정확히 한 바퀴여서, 모든 방향이 한 번씩 덮이고 남는 방향이 없다. 직선 x=1에 대한 거울 대칭은 두 개의 60^° 부채꼴을 서로 짝짓고 각 15^° 쐐기를 자기 짝과 맞물리게 하며, √(6)과 √(2) 부채꼴은 각각 90^°와 270^°를 한가운데 두므로 스스로 대칭이다. 3단계가 예측한 그대로다. 마지막으로 무리수가 상쇄된다. 쐐기들의 합은 (3-√(3))+(√(3)-1)=2로 정수인데, 요구된 꼴 1/c(aπ+b)에서 a,b,c가 정수여야 하므로 반드시 그래야 한다. √(3)이 하나라도 남았다면 조각을 잘못 센 증거였을 것이다.

💡핵심 정리

회전 전체를 머릿속에 그리려 하지 말고, 핀에서 각 방향으로 정사각형이 얼마나 멀리 뻗는지를 물어라. 쓸고 지나간 도형은 그 방향으로 90^° 도는 동안 가장 멀리 뻗었던 만큼 뻗는다.

정사각형을 좌표평면에 놓기
핀에서의 거리를 모두 재 두기
끝나는 자리와 공짜로 얻는 대칭
정사각형을 뻗는 거리로 기술하기
쓸고 지나간 거리는 구간 최댓값
어느 꼭짓점이 얼마 동안 이기는지 판정하기
네 개의 부채꼴 더하기
네 개의 평평한 쐐기 더하기
여덟 조각 합치기
a, b, c 확정하기