AMC 10 · 2014 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-trianglesisosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형의 세 변에 세운 합동인 이등변삼각형들의 넓이 합이 정삼각형과 같다. 그 이등변삼각형의 같은 변을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{\sqrt3}4$

(B)

$\dfrac{\sqrt3}3$

(C)

$\dfrac23$

(D)

$\dfrac{\sqrt2}2$

(E)

$\dfrac{\sqrt3}2$

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 아무것도 식으로 주어지지 않았으므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저 와야 한다. 각 밑변이 길이 1인 변 전체라는 것, 각 꼭짓점이 밑변의 수직이등분선 위에 있다는 것을 알려 주는 것이 바로 그림이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눈다. 정삼각형의 넓이, 그리고 이등변삼각형 하나의 넓이인데, 직각삼각형만 드러나면 둘 다 1/2bh 하나로 끝난다. 도구 #4(변수 도입하기)는 꼭짓점까지의 높이를 h로 두어 넓이 조건을 한 단계짜리 식으로 바꾼다. 도구 #17(공간 상상하기)은 마지막 논증을 닫는다. 세 삼각형이 안쪽으로 접혀 정삼각형을 빈틈없이 덮는 모습을 보면, 그런 배치가 실제로 존재한다는 것을 가정이 아니라 확인으로 얻는다.

1STEP 1

그림을 확정하기

밑변과 꼭짓점 높이가 각 삼각형을 정한다.

base=1, apex on the perpendicular bisector, at distance h

2STEP 2

정삼각형의 넓이

정삼각형의 넓이는 이미 안다.

H=√3/2, [ABC]=1/2 · 1·√3/2=√3/4

3STEP 3

각 삼각형은 1/3씩

각 삼각형이 정확히 삼분의 일을 갖는다.

[one isosceles]=1/3·√3/4=√3/12

4STEP 4

넓이를 높이로 바꾸기

그 넓이가 꼭짓점 높이를 정한다.

h/2=√3/12 → h=√3/6

5STEP 5

피타고라스 한 번

피타고라스 한 번이 √3/3을 준다.

s²=(1/2)²+(√3/6)²=1/4+1/12=1/3, s=√3/3

6STEP 6

그런 배치가 실제로 있는지 확인

그 배치는 실제로 존재한다, 보기 (B).

r=1/3·√3/2=√3/6=h, R=2/3·√3/2=√3/3 → (B)

정답

√3/3

수로 보면 s = √3/3 ≈ 0.577이고, 정확한 계산 전에도 두 가지 범위로 크기를 확인할 수 있다. 같은 변은 한 변이 1/2인 직각삼각형의 빗변이므로 s ＞ 1/2 = 0.5이고, 이것이 (A) √3/4 ≈ 0.433을 지운다. 또 h = √3/6 ≈ 0.289 ＜ 1/2이므로 s ＜ √(1/4+1/4) = √2/2 ≈ 0.707이고, 이것이 (D)와 (E)를 지운다. 남은 둘 가운데 (C) 2/3이라면 h = √(4/9-1/4) = √7/6 ≈ 0.441이 되어 넓이의 합이 3·h/2 ≈ 0.661, 정삼각형의 √3/4 ≈ 0.433보다 훨씬 크다. 두 넓이를 같게 하는 것은 (B)뿐이며, 직접 다시 확인해도 3·1/2 · 1·√3/6 = √3/4로 맞는다.

💡핵심 정리

합동인 조각들이 하나의 전체를 나누면 각자 1/3씩 가지고, 삼각형의 밑변과 넓이를 알면 높이는 저절로 정해진다. 그다음 피타고라스 한 번이면 그 높이가 빗변으로 바뀐다.

그림을 확정하기
정삼각형의 넓이
각 삼각형은 1/3씩
넓이를 높이로 바꾸기
피타고라스 한 번
그런 배치가 실제로 있는지 확인