AMC 10 · 2014 · #9
학년 8 geometry-2d
답을 골라 클릭하세요.
네 변만으로 일반 사각형의 넓이를 구하는 공식은 없다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다. 대각선 AC를 그어 ABCD를 삼각형 두 개로 본다. 하필 AC를 고른 이유는 그것이 직각삼각형 ABC의 빗변이기 때문이다. B의 직각이 첫 번째 넓이를 주는 동시에, 두 번째 삼각형에 부족했던 길이까지 건네준다. 이어서 도구 #5(패턴 찾기)로 두 번째 삼각형에서 5, 12, 13을 알아보고, 피타고라스 정리 자체가 아니라 그 역을 써서 이 세 길이를 두 번째 직각으로 바꾼다. 마지막으로 도구 #4(변수 도입하기)로 좌표를 놓고 D를 직접 구해, 이런 볼록사각형이 실제로 존재함을 보이고 '볼록'이라는 조건이 정확히 어디서 일하는지 드러낸다.
대각선 AC로 자르기
대각선이 그것을 두 삼각형으로 나눈다.
대각선 하나가 손댈 수 없던 사각형을 삼각형 두 개로 바꾸고, 볼록성이 그 두 넓이를 빼는 대신 더하게 해 준다.
6.G.A.1Identify Subproblems피타고라스로 AC = 5
직각이 그 대각선을 바로 준다.
주어진 변에서 대각선으로 건너가는 유일한 다리가 직각이므로 그 다리를 먼저 건넌다.
8.G.B.7Identify Subproblems변 5, 12, 13이 각을 증명한다
다른 삼각형도 직각임이 드러난다.
피타고라스 정리는 각에서 변으로 읽고, 그 역은 변에서 각으로 되읽는다. 이 문제가 필요한 것은 되읽는 방향이다.
피타고라스 관계를 만족하는 변들은 짧은 두 변 사이의 각이 직각임을 증명한다.
▸ 왜?
제곱들 사이의 관계는 각이 직각일 때만 성립하므로, 앞으로도 뒤로도 읽힌다.
▸ 왜?
각이 직각이면 두 변이 이미 밑변과 그에 맞는 높이이므로, 넓이를 구하는 데 따로 할 일이 없다.
두 번째 삼각형의 두 변은 5와 12
그 넓이가 곧바로 따라 나온다.
직각삼각형에서는 두 직각변이 이미 밑변과 높이 역할을 하므로 따로 그릴 것이 없다.
7.G.B.6Identify Subproblems두 조각 더하기
더하면 36, 보기 (D).
조각을 다시 더할 수 있는 이유는 첫 단계에서 대각선이 깔끔하게 갈라 놓았기 때문이다.
6.G.A.1Identify Subproblems볼록한 도형이 존재하는지 확인
좌표로 그 도형이 존재함이 확인된다.
도형의 실물 하나를 직접 만들어 보면, 답이 애초에 그릴 수 없었을지도 모르는 그림 위에 얹혀 있지 않다는 것이 증명된다.
8.G.B.8Introduce A VariableAC로 사각형을 자르면 직각이 AC=5를 주고, 변 5, 12, 13이 두 번째 직각을 증명하며, 6+30=36이다.
- 대각선 AC로 자르기
- 피타고라스로 AC = 5
- 변 5, 12, 13이 각을 증명한다
- 두 번째 삼각형의 두 변은 5와 12
- 두 조각 더하기
- 볼록한 도형이 존재하는지 확인
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
