AMC 10 · 2015 · #15
학년 8 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
이 나눗셈을 직접 계산하고 싶은 사람은 없다. 빠져나가는 길은 분모가 10의 거듭제곱이 되도록 분수를 다시 쓰는 것이다. 분모가 10^k 인 분수는 소수 자리를 겉으로 드러낸다. 소수점 아래 자리는 곧 분자의 마지막 k 자리이기 때문이다. 이렇게 한 번 다시 정리하는 것만으로 긴 나눗셈 문제가 세는 문제로 바뀐다. 그런데 물어본 것은 최솟값이고, 최솟값은 두 개의 주장이 겹쳐진 것이다. 어떤 자릿수는 실제로 되어야 하고, 그보다 작은 자릿수는 모두 안 되어야 한다. 되는 쪽은 다시 쓰기에서 저절로 따라온다. 정작 증명이 필요한 것은 안 되는 쪽이고, 그것은 지나치기 쉬운 사실 하나에 걸려 있다. 123456789가 홀수라는 사실이다. 소수는 끝의 0을 잘라내야만 짧아질 수 있는데, 분자가 홀수면 잘라낼 0이 하나도 남지 않는다. 그래서 계획은 이렇다. 다시 쓰고, 자릿수를 변수로 두고, 충분함을 증명하고, 더 줄일 수 없음을 증명한다.
자릿수 문제를 정수 판정으로 바꾸기
자릿수는 정수 판정이다.
10^k 을 곱하면 소수점이 오른쪽으로 k 칸 미끄러지므로, 점 뒤에 아무것도 남지 않으면 k 자리로 충분했던 것이다.
5.NBT.A.2Introduce A Variable최솟값에는 증명이 두 개 필요하다
한 번 되면 자릿수가 더 많아도 된다.
최소라는 말은 그 아래의 모든 값에 대한 주장이므로, 성공 사례 하나로는 결코 결판나지 않는다.
6.EE.B.5Identify Subproblems분모를 10의 거듭제곱으로 다시 짓기
분모가 10의 거듭제곱으로 다시 지어진다.
2와 5 중 모자란 쪽을 채워 10의 거듭제곱을 만들고, 지수를 정하는 것은 더 많이 쌓인 쪽이다.
두 소수 가운데 모자란 쪽을 채워 주며, 더 높이 쌓인 쪽이 지수를 정한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 2와 5의 개수는 곱하기 전에 이미 정해져 있다.
▸ 왜?
10의 거듭제곱은 두 소수가 같은 개수여야 하므로, 통하는 가장 작은 것은 더 높은 쪽에 맞춰진다.
26자리면 충분하다
따라서 26자리면 충분하다.
분모가 10²⁶이 되고 나면 소수점 아래 자리는 그냥 분자의 마지막 26자리이다.
5.NBT.A.2Organize Information In More Ways끝자리는 0이 아니라 5이다
끝자리가 홀수여서 한 자리 적으면 안 된다.
소수를 짧게 만드는 유일한 방법은 끝의 0을 잘라내는 것인데, 분자가 홀수면 잘라낼 0이 없다.
4.OA.B.4Extreme Principle두 쪽을 합치기
양쪽 모두 26을 준다, 보기 (D).
자릿수를 정하는 것은 기약분모에서 2와 5 중 더 많이 나오는 쪽이지, 둘의 합이 아니다.
8.EE.A.1Eliminate Possibilities분모를 10의 거듭제곱으로 만들어라. 소수 자릿수는 그때 필요했던 지수이고, 분자가 홀수라면 끝에서 단 한 자리도 잘라낼 수 없다.
- 자릿수 문제를 정수 판정으로 바꾸기
- 최솟값에는 증명이 두 개 필요하다
- 분모를 10의 거듭제곱으로 다시 짓기
- 26자리면 충분하다
- 끝자리는 0이 아니라 5이다
- 두 쪽을 합치기