AMC 10 · 2016 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

absolute-valuecoordinate-geometryarea-circlessymmetry-argument completing-the-squarecasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 방정식이 한쪽에 제곱을, 다른 쪽에 절댓값을 쓴다. 둘러싼 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi+\sqrt{2}$

(B)

$\pi+2$

(C)

$\pi+2\sqrt{2}$

(D)

$2\pi+\sqrt{2}$

(E)

$2\pi+2\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

절댓값이 곡선을 무섭게 보이게 하지만, 사실은 대칭을 담고 있을 뿐이다. x→-x 나 y→-y 로 바꿔도 식이 그대로이므로 전체 그림은 한 사분면을 네 번 거울처럼 복사한 것이다 (도구 #1). 그래서 한 사분면만 풀면 나머지는 그대로 재사용할 수 있다. 제1사분면에서는 절댓값이 사라져 이차식이 되고, 완전제곱식으로 정리하면 (도구 #4) 익숙한 원이 드러난다. 모양이 보이면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 둘러싸인 영역을 쉬운 조각 — 가운데 정사각형 하나와 네 개의 반원 모자 — 으로 나누어 넓이를 더한다.

1STEP 1

대칭을 이용해 한 사분면만 보기

한 사분면이 곡선 전체를 설명한다.

x ≥ 0, y ≥ 0: x²+y²=x+y

2STEP 2

완전제곱식으로 원 만들기

완전제곱으로 만들면 원이 된다.

(x-1/2)²+(y-1/2)²=1/2

3STEP 3

축 위의 점을 지나는 지름 찾기

축 위의 점들이 지름 위에 있다.

dist((1,0),(0,1))=√2 = 2r

4STEP 4

가운데 정사각형 만들기

네 축 위의 점이 정사각형을 이룬다.

정사각형 넓이=1/2 d₁ d₂=1/2·2·2=2

5STEP 5

네 개의 반원 모자 더하기

모자 넷을 더하면 π+2, 보기 (B).

2+4·1/2π(√2/2)²=2+π=π+2=(B)

정답

π+2

수치로 보면 π+2≈5.14이다. 각 사분면 원의 넓이는 π r²=π·1/2=π/2≈1.57 이므로 네 원판을 따로 더하면 2π≈6.28이 된다. 둘러싸인 영역은 원판들이 원점 근처에서 겹치므로 그보다 작아야 하고, 5.14 ＜ 6.28로 들어맞는다. 정답은 또한 가장 작은 선택지 π+√2≈4.56과 더 큰 2π 계열 선택지 사이, 적당히 겹친 합집합이 놓일 바로 그 위치에 있으며 선택지 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

절댓값을 걷어내면 거울로 비친 원 네 개가 보이고, 그 모양을 기울어진 정사각형 하나와 반원 모자 네 개로 다시 쌓으면 2+π 이다.

대칭을 이용해 한 사분면만 보기
완전제곱식으로 원 만들기
축 위의 점을 지나는 지름 찾기
가운데 정사각형 만들기
네 개의 반원 모자 더하기

대칭을 이용해 한 사분면만 보기

완전제곱식으로 원 만들기

축 위의 점을 지나는 지름 찾기

가운데 정사각형 만들기

네 개의 반원 모자 더하기

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