AMC 10 · 2018 · #18
학년 8 geometry-2d angle-bisector-theoremarea-trianglessimilar-trianglesratio-proportion identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 ABC에서 변 AB는 50, 변 AC는 10이고 넓이는 120입니다. 점 D는 AB의 중점, 점 E는 AC의 중점이므로 선분 DE는 두 중점을 잇습니다. 각 A의 이등분선이 DE를 F에서, BC를 G에서 지납니다. 네 점으로 둘러싸인 영역 FDBG의 넓이를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
60
(B)
65
(C)
70
(D)
75
(E)
80
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사각형 FDBG를 바로 구하기는 까다롭지만, 이것은 큰 삼각형 ABG에서 작은 모서리 삼각형 ADF를 떼어낸 것과 정확히 같다. 그래서 쉬운 두 넓이로 나뉜다. 도구 #1 (그림 그리기)로 F와 G의 위치를 정한다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 각이등분선이 BC를 나누는 비를 비례 변수로 다룬다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 마무리 수: FDBG를 직접 재는 대신 큰 삼각형에서 모서리 삼각형을 빼낸다.
1STEP 1
그림 그리고 표시하기
주어진 세 값이 그림을 완전히 결정합니다.
AB=50, AC=10, [ABC]=120
그림을 깔끔히 그리면 이 영역이 삼각형의 모서리를 잘라낸 모양임이 보인다.
7.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
사각형을 다시 보기
사각형을 두 삼각형의 차로 봅니다.
[FDBG] = [ABG] - [ADF]
사각형은 흔히 삼각형에서 모서리 하나를 잘라낸 것에 불과하다.
6.G.A.1Identify Subproblems3STEP 3
각이등분선으로 [ABG] 구하기
각이등분선이 밑변을 변의 비로 나눕니다.
BG:GC = 50:10 = 5:1 → [ABG] = 5/6 · 120 = 100
높이가 같으면 넓이는 밑변과 같은 비로 나뉜다.
높이가 같으면 넓이는 밑변과 정확히 같은 비로 나뉜다.
▸ 왜?
한 직선 위에 꼭짓점을 공유하는 삼각형은 높이를 공유하므로, 다를 수 있는 것은 밑변뿐이다.
높이가 같으면 넓이는 밑변의 비높이가 같은 두 삼각형은 폭만 다르므로, 넓이의 비는 정확히 밑변의 비와 같다.
▸ 왜?
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 높이가 정해지면 넓이는 밑변에만 매인다.
삼각형의 넓이삼각형의 넓이는 밑변×높이의 절반이다.
4STEP 4
닮음으로 [ADF] 구하기
중점 연결선이 절반 크기의 닮음을 만듭니다.
[ADF] = (1/2)² [ABG] = 1/4 · 100 = 25
모든 길이를 반으로 줄이면 넓이는 4분의 1이 된다.
8.G.A.4Introduce A Variable5STEP 5
빼서 사각형 구하기
빼면 75입니다.
[FDBG] = 100 - 25 = 75
원하는 영역은 모서리를 떼어낸 뒤 남는 전부다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement정답
75
답 75는 삼각형 전체 넓이 120 중 합리적인 크기여야 한다. 영역 FDBG는 삼각형 ABG(넓이 100)의 아랫부분이므로 작은 1/4 모서리만 떼어낸 만큼 100보다는 작되 그 대부분이어야 한다. 75가 정확히 맞고, 전체 120 아래에 머문다. 또한 75 = 3/4 · 100으로, 1/4 모서리를 잘라낸 뒤 남는 4분의 3과 일치한다.
💡핵심 정리
이상한 사각형을 구하려면 그것을 둘러싼 삼각형을 찾고 원하지 않는 모서리만 빼면 된다.
- 그림 그리고 표시하기
- 사각형을 다시 보기
- 각이등분선으로 [ABG] 구하기
- 닮음으로 [ADF] 구하기
- 빼서 사각형 구하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
