AMC 10 · 2018 · #8

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
similar-trianglesarea-trianglessimilar-figuresratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
두 변의 길이가 같은 이등변삼각형 ABC 안에 밑변 BC와 평행한 선분 DE를 그어, 위쪽 삼각형 ADE와 아래쪽 사다리꼴 DBCE로 나눕니다. 그림 속 모든 삼각형은 ABC와 닮았습니다. DE 바로 위에 넓이가 1인 가장 작은 삼각형 일곱 개가 나란히 놓여 있고, 삼각형 ABC 전체의 넓이는 40입니다. 사다리꼴 DBCE의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
18
(C)
20
(D)
22
(E)
24
풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 이 문제는 그림을 꼼꼼히 읽는 데서 풀립니다 — DE가 BC와 평행하다는 것(그래서 △ ADE가 △ ABC를 줄인 복사본이라는 것)과, 위를 향한 작은 삼각형 4개가 DE를 따라 변끼리 맞붙어 있다는 것을 알아챕니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사다리꼴을 직접 재는 대신 △ ABC를 위쪽 삼각형 ADE와 사다리꼴로 나누면, 사다리꼴 = 큰 삼각형 - 위쪽 삼각형이 됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기): 닮은 도형에서 넓이는 변의 비의 제곱으로 커지므로, 변의 비가 4임을 알면 넓이 비는 4²=16 — 따로 잴 필요가 없습니다.

1STEP 1

큰 삼각형을 둘로 나누기

사다리꼴은 큰 것에서 위 삼각형을 뺀 것입니다.

[DBCE] = [ABC] - [ADE] = 40 - [ADE]
2STEP 2

ADE는 ABC를 줄인 복사본

위 삼각형은 큰 삼각형을 줄인 복사본입니다.

△ ADE ∼ △ ABC ∼ △(작은)
3STEP 3

DE를 따라 변의 비 찾기

밑변을 따라 작은 삼각형은 네 개가 늘어섭니다.

DE = 4 × (작은 밑변) → 변의 비 = 4
4STEP 4

비를 제곱해서 넓이 구하기

변의 비를 제곱하면 위쪽 넓이가 나옵니다.

[ADE] = 4² × 1 = 16
5STEP 5

빼서 마무리하기

빼면 24입니다.

[DBCE] = 40 - 16 = 24 → (E)
정답
24
사다리꼴은 삼각형의 더 크고 넓은 아래쪽 덩어리이므로 넓이의 대부분을 차지해야 하는데, 40 중 24는 절반보다 크니 잘 들어맞습니다. 더 깔끔한 교차 확인: 변의 비가 4인 삼각형 ADE는 가장 작은 삼각형 16개가 아래에서 위로 7,5,3,1개씩 줄지어(7+5+3+1=16) 만든 것이므로 [ADE]=16, 따라서 [DBCE]=40-16=24입니다. 더 작은 보기 (A) 16부터 (D) 22까지는 모두 △ ADE가 16보다 커야 하는데, 변의 비 4가 [ADE]를 정확히 16으로 고정하므로 (E)만이 일관된 값입니다.
💡핵심 정리

밑변과 평행한 선은 삼각형의 작은 복사본을 잘라내는데, 변이 4배 작으면 넓이는 4²=16배 작으므로 남는 사다리꼴은 40-16=24입니다.

  • 큰 삼각형을 둘로 나누기
  • ADE는 ABC를 줄인 복사본
  • DE를 따라 변의 비 찾기
  • 비를 제곱해서 넓이 구하기
  • 빼서 마무리하기

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