AMC 10 · 2018 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #1 (그림 그리기): 그림을 좌표 격자 위에 올리면 "어느 점이 두 삼각형 안에 동시에 있는가"가 직선의 정확한 방정식으로 바뀌어, 흐릿한 그림이 수가 된다. 도구 #4 (변수 도입하기): 좌표를 쓰면 각 삼각형의 각 변을 직선 방정식으로 쓸 수 있고, 만나는 점은 그 방정식들을 풀어서 나온다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 육각형은 120° 회전 대칭이므로 △ ACE에서 잘려 나가는 세 모서리가 똑같다 — 하나만 재면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 여섯 변짜리 겹친 부분을 직접 구하는 대신, 큰 삼각형의 넓이를 구하고 똑같은 세 모서리를 빼면, 어려운 한 조각 대신 쉬운 두 조각이 된다.
육각형을 격자에 고정하기
육각형을 좌표에 고정합니다.
정육각형에서는 한 변이 반지름과 같으므로, 꼭짓점들이 반지름 1인 원 위에 깔끔하게 놓인다.
정육각형은 한 변이 반지름과 같으므로, 꼭짓점이 한 원 위에 가지런히 놓인다.
▸ 왜?
중심에서 같은 각 여섯 개가 한 바퀴를 채우므로, 각 조각은 정확히 60도로 열린다.
▸ 왜?
두 변이 같고 그 사이 각이 60도인 조각은 나머지 한 변도 같다.
중점 찾기; 똑같은 두 삼각형 알아채기
중점을 찾아 두 삼각형을 그립니다.
끝점을 평균 내면 중점이 나오고, 좌표를 보면 두 삼각형이 같은 중심을 둔 정삼각형임이 드러난다.
6.G.A.3Introduce A Variable삼각형 ACE에서 겹친 부분을 오려내기
큰 삼각형에서 모서리 셋을 오려냅니다.
삼각형에서 똑같은 세 모서리를 잘라내면 안쪽 육각형이 남고, 대칭성 덕분에 모서리들이 똑같다.
6.G.A.1Identify Subproblems모서리 삼각형 하나 재기
대칭이라 모서리 하나만 재면 됩니다.
각 모서리는 이미 아는 세 직선으로 둘러싸여 있으므로, 직선을 둘씩 풀면 꼭짓점이 정해지고 넓이가 따라 나온다.
8.EE.C.8Identify Subproblems답을 합산하기
빼면 32분의 15루트3입니다.
똑같은 세 모서리를 떼는 것은 하나를 세 배 한 뒤 빼는 것일 뿐이다.
6.EE.A.3Identify Subproblems그림을 좌표 위에 올린 다음, 큰 삼각형에서 똑같은 세 모서리를 잘라내어 겹친 부분을 만든다.
- 육각형을 격자에 고정하기
- 중점 찾기; 똑같은 두 삼각형 알아채기
- 삼각형 ACE에서 겹친 부분을 오려내기
- 모서리 삼각형 하나 재기
- 답을 합산하기
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