AMC 10 · 2019 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1인 합동인 반원 세 개가 한 선분 위에 나란히 놓여 있고 평평한 변이 그 선분 위에 있습니다. 반지름이 2인 큰 원이 가운데 반원의 꼭대기를 중심으로 그려집니다. 색칠된 넓이는 큰 원 안의 넓이에서 세 반원 안의 넓이를 뺀 것입니다. 이를 요구된 꼴로 쓰고 그 안의 네 수를 모두 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): asy 도면에서 좌표 설정 — F = (0, 0), 큰 원 원점 중심 반지름 2, 작은 반원 중심 (-2,-1), (0,-1), (2,-1). 도구 #7 (쪼개기): (a) 중간 반원 (전체가 큰 원 안), (b) 좌·우 반원이 큰 원과 겹치는 부분. 도구 #16 (관점): 음영 = (큰 원판) - (반원 내부 부분).

1STEP 1

모든 원을 좌표로 쓰기

네 원을 모두 식으로 씁니다.

큰: x² + y² = 4; 작은: (x ± 2)² + (y+1)² = 1 또는 x² + (y+1)² = 1

2STEP 2

가운데 반원 다루기

가운데는 통째로 들어갑니다.

중간 반원 ∩ 큰 = π/2

3STEP 3

교점 찾기

바깥 반원과 큰 원의 교점을 구합니다.

(2, 0) = G, (6/5, -8/5) = P

4STEP 4

교점이 범위 안인지 확인

교점이 실제 호 위에 있는지 봅니다.

√(3) ≈ 1.732 ∈ [1, 3]

5STEP 5

삼각형 잡기

겹친 부분을 삼각형과 활꼴로 나눕니다.

삼각형 T = C(1,-1), V(√(3),-1), G(2,0)

6STEP 6

삼각형 넓이 구하기

삼각형의 넓이를 계산합니다.

T = (√(3) - 1)/2

7STEP 7

큰 원의 활꼴

큰 원 쪽 활꼴을 구합니다.

큰 활꼴 = π/3 - 1

8STEP 8

작은 원의 활꼴

작은 원 쪽 활꼴도 구합니다.

작은 활꼴 = π/4 - 1/2

9STEP 9

바깥 반원의 겹친 넓이

조각을 합쳐 일부만의 넓이를 냅니다.

우측 반원 ∩ 큰 = √(3)/2 + 7π/12 - 2

10STEP 10

세 반원 합치기

대칭으로 반대쪽도 같습니다.

반원 ∩ 큰 = 5π/3 + √(3) - 4

11STEP 11

색칠된 넓이와 합

빼고 정리하면 합은 17입니다.

음영 = 7π/3 - √(3) + 4 → a + b + c + d = 17

정답

수치 확인: 음영 ≈ (7 · 3.14159)/3 - 1.732 + 4 ≈ 7.330 - 1.732 + 4 ≈ 9.598. 큰 원 = 4π ≈ 12.566. 차 ≈ 2.97이 반원 합집합 넓이여야 함. 중간 π/2 ≈ 1.571, 좌·우 각각 ≈ 0.699, 합 ≈ 2.969. ✓. 네 상수 모두 양의 정수, gcd(7, 3) = 1. 합 = 17.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 때 배운 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — F 를 원점에 두고 두 원의 교점 (G 와 큰 원이 y = -1과 만나는 x = √(3))을 찾은 후 한쪽당 삼각형 + 활꼴 두 개를 더하면 음영 = 7π/3 - √(3) + 4, 따라서 a + b + c + d = 7 + 3 + 3 + 4 = 17. 답은 (E).