AMC 10 · 2019 · #24

학년 11 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

complex-numbersroots-of-unityminkowski-sumvector-additionarea-regular-hexagon easier-related-problemidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: complex-numbersroots-of-unity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 복소수가 1의 세제곱근 중 하나입니다. 세 다이얼을 0과 1 사이에서 독립적으로 움직이며 첫 다이얼 더하기 둘째 다이얼 곱하기 그 복소수 더하기 셋째 다이얼 곱하기 그 복소수의 제곱을 만들면 복소평면에 어떤 영역이 그려집니다. 그 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}\sqrt3$

(B)

$\frac{3}{4}\sqrt3$

(C)

$\frac{3}{2}\sqrt3$

(D)

$\frac{1}{2}\pi\sqrt3$

(E)

$\pi$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): a + bω + cω²는 평면 위 세 화살표의 합이므로, 이 문제는 결국 그림 문제다. 화살표를 그려 놓으면 답은 이름을 붙일 수 있는 도형이 된다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 다이얼 세 개를 한꺼번에 다루기는 벅차므로 먼저 두 개를 고정하고 c만 움직인다. 그러면 선분이 나온다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 그다음 b를 풀고, 다시 a를 푼다. 다이얼을 하나씩 풀 때마다 앞의 도형이 정해진 방향으로 끌려가므로 상상하기도 쉽고 정당화하기도 쉽다. 도구 #15 (다르게 정리하기): ω와 ω²를 x + yi 꼴로 다시 쓰면 항등식 1 + ω + ω² = 0이 드러나고, 최종 도형이 대칭이고 정다각형이 되는 이유가 여기에 있다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 검토 단계용으로 남겨 둔다. S가 다각형이므로 π가 들어간 선택지는 답이 될 수 없다.

1STEP 1

세 화살표 그리기

세 방향이 120도씩 벌어져 있습니다.

1 = (1, 0), ω = (-1/2, √(3)/2), ω² = (-1/2, -√(3)/2)

2STEP 2

상쇄 구조 발견하기

세 화살표의 합이 0입니다.

1 + ω + ω² = 0 ⟹ z ∈ S ⇔ -z ∈ S

3STEP 3

다이얼 하나만 움직이기

하나만 움직이면 선분이 생깁니다.

{ cω² : 0 ≤ c ≤ 1 } = 0에서 ω²까지의 선분

4STEP 4

둘째 다이얼 풀기

선분이 마름모를 쓸고 지나갑니다.

{ bω + cω² } = 꼭짓점이 0, ω, -1, ω²인 마름모

5STEP 5

셋째 다이얼 풀기

마름모가 육각형을 쓸고 지나갑니다.

꼭짓점: ω, 1 + ω, 1, 1 + ω², ω², -1

6STEP 6

육각형의 정체 밝히기

그것은 정육각형입니다.

정육각형, 외접원 반지름 1, 한 변 1

7STEP 7

삼각형 하나의 넓이

정삼각형 하나의 넓이를 구합니다.

h = √(1 - 1/4) = √(3)/2, A_△ = 1/2 · 1 · √(3)/2 = √(3)/4

8STEP 8

여섯 조각 더하기

여섯을 더하면 2분의 3루트3입니다.

[S] = 6 · √(3)/4 = 3/2√(3) ≈ 2.598

정답

3/2√3

세 가지로 확인한다. (1) 다른 방식으로 다시 세기: 같은 육각형은 단위 마름모 3개로도 정확히 나뉜다. 4단계의 마름모(a = 0), 그것을 옮긴 복사본(c = 0, 꼭짓점 0, 1, 1+ω, ω), 그리고 세 번째 마름모(b = 0, 꼭짓점 0, 1, 1+ω², ω²)이다. 각 마름모는 밑변 1, 높이 sin 120° = √(3)/2이므로 넓이는 √(3)/2이고, 3 · √(3)/2 = 3/2√(3) — 다른 방식으로 잘랐는데 합계가 같다. (2) 크기 어림: S는 단위원에 내접하므로 넓이가 π ≈ 3.14보다 작아야 하고, 마름모 하나를 품고 있으므로 √(3)/2 ≈ 0.87보다 커야 한다. 3/2√(3) ≈ 2.598은 그 사이에 잘 들어간다. (3) 도형 확인: S는 오직 직선 선분을 미끄러뜨려 만들어졌으므로 변이 모두 직선인 다각형이다. 원호가 끼어들 자리가 없으니 π가 들어간 선택지는 불가능하다. 이것으로 (D) ≈ 2.72와 (E) ≈ 3.14는 바로 지워지고, (A) ≈ 0.87은 마름모 세 개 중 하나에 불과하고 (B) ≈ 1.30은 전체의 절반에 불과하므로 너무 작다. (C)만 남는다.

💡핵심 정리

다이얼 셋, 120°씩 벌어진 단위 화살표 셋. 첫 다이얼을 돌리면 선분이 그려지고, 둘째를 돌리면 그 선분이 마름모를 쓸고, 셋째를 돌리면 한 변이 1인 정육각형을 쓴다 — 정삼각형 여섯 개이므로 넓이는 6 · √(3)/4 = 3/2√(3)이다.

세 화살표를 평면에 놓기
상쇄되는 구조 발견하기
두 다이얼을 고정하고 하나만 움직이기
b를 풀면 선분이 마름모를 쓸고 지나간다
a를 풀면 마름모가 육각형을 쓸고 지나간다
육각형의 정체 밝히기
정삼각형 하나의 넓이
여섯 조각을 더하기