AMC 10 · 2020 · #16

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
geometric-probabilityarea-circlesspatial-visualizationestimation easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 변이 2020인 정사각형 안에서 점 하나를 무작위로 고릅니다. 두 좌표가 모두 정수인 점을 격자점이라 합니다. 고른 점이 어떤 격자점에서 거리 d 안에 들어갈 확률이 정확히 2분의 1입니다. d를 소수 첫째 자리까지 반올림해 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0.3
(B)
0.4
(C)
0.5
(D)
0.6
(E)
0.7
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 2020 × 2020 정사각형은 2020² 개의 1 × 1 단위 정사각형이 똑같이 반복된 것이고, 네 모서리 격자점 주변 규칙도 모든 칸에서 동일합니다. 따라서 큰 정사각형 대신 단위 정사각형 하나에서 확률을 구하면 됩니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 단위 정사각형 안에서 유효 영역은 네 모서리에 있는 반지름 d 의 사분원 네 개 — 합치면 반지름 d 인 원 한 개의 넓이 π d²가 됩니다. 도구 #3 (가능성 지우기): π d² = 1/2 에서 d² = 1/2π ≈ 0.159 — 다섯 선택지를 제곱해서 0.159에 가장 가까운 것을 고릅니다.

1STEP 1

단위 정사각형으로 줄이기

큰 정사각형이 단위 정사각형과 같습니다.

P_big = P_unit
2STEP 2

네 모퉁이 합치기

사분원 넷이 원 하나가 됩니다.

A_good = 4 · 1/4π d² = π d²
3STEP 3

확률을 넓이로 쓰기

넓이가 곧 확률입니다.

P = (π d²)/1 = 1/2 → d² = 1/2π
4STEP 4

거리 구하기

풀어서 반올림하면 0.4입니다.

d² ≈ 0.159 → d ≈ 0.4 → (B)
정답
0.4
크기 감각 확인: d=0.5 면 네 사분원이 딱 맞닿아 넓이 합 π(0.5)² ≈ 0.785 — 너무 많음. d=0.3이면 π(0.3)² ≈ 0.283 — 너무 적음. 그 중간인 d=0.4의 넓이는 π(0.4)² ≈ 0.503으로 거의 정확히 1/2. d ≤ 0.5 가정도 성립 — 사분원이 정말 겹치지 않습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 때 배운 수직선 위 어림 비교만 알면 풀 수 있어요 — 거대한 정사각형을 작은 한 칸으로 줄이고, 네 모서리 사분파이를 모아 온전한 파이로 만들고, 그 넓이를 1/2로 놓으면 d ≈ 0.4. 답은 (B).

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