AMC 10 · 2020 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

사각형 ABCD에 직각이 두 개 있습니다. 각 ABC와 각 ACD가 직각입니다. 대각선 AC의 길이는 20이고 변 CD는 30입니다. 두 대각선 AC와 BD가 점 E에서 만나고 AE는 5입니다. 사각형 ABCD의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

330

(B)

340

(C)

350

(D)

360

(E)

370

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 대각선 AC 가 ABCD 를 두 직각삼각형 △ ACD, △ ABC 로 자릅니다. 각각의 넓이를 구해서 더합니다. △ ACD 는 두 직각변이 주어져 바로 계산. △ ABC 는 B 에서 AC 에 내린 수선 BF 의 길이가 필요. 도구 #1 (그림): AC 를 수평으로 두고 C 를 원점, A 를 오른쪽, D 를 C 위에 놓고 AC 위에 E 를 표시. BF 와 CD 가 모두 AC 와 수직이므로 평행, 따라서 △ EBF ∼ △ EDC (AA). 도구 #13 (대수): EF = x 로 두고 닮음으로 BF 를 x 로 표현, 직각삼각형의 수선 정리 BF² = AF · FC 로 x 결정.

1STEP 1

쉬운 삼각형 먼저

직각 하나가 넓이를 바로 줍니다.

[△ ACD] = 1/2 · 20 · 30 = 300

2STEP 2

남은 삼각형 세우기

남은 넓이는 높이 하나만 있으면 됩니다.

[△ ABC] = 1/2 · 20 · BF = 10 · BF, BF ∥ CD

3STEP 3

평행에서 비 얻기

두 직각이 만든 평행이 비를 줍니다.

BF/30 = EF/15 → BF = 2 · EF

4STEP 4

방정식 세우기

직각삼각형 관계가 방정식을 만듭니다.

(2x)² = (5 - x)(x + 15)

5STEP 5

높이 구하기

풀면 높이가 나옵니다.

x² + 2x - 15 = 0 → x = 3, BF = 6

6STEP 6

두 넓이 더하기

더하면 360입니다.

[ABCD] = 300 + 60 = 360 → (D)

정답

360

기하 검산: C = (0, 0), A = (20, 0), D = (0, 30), E = (15, 0)로 좌표 설정. 직선 BD 는 D 와 E 를 지나고 기울기 -2. 수선의 발 F = (18, 0)이면 B = (18, -6)가 BF = 6을 만족하고 B 에서 직각: BA = (2, 6), BC = (-18, 6)의 내적은 -36 + 36 = 0 ✓. 또 |AB| = √(40), |BC| = √(360)이고 1/2√(40 · 360) = 1/2√(14400) = 60 ✓. 총합 300 + 60 = 360은 선택지 (D)와 일치 — 근처 함정 330, 340, 350, 370은 BF 를 잘못 잡은 경우.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 때 배운 닮은 삼각형과 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대각선 AC 로 사각형을 쪼개 쉬운 직각삼각형에서 300, 닮은 삼각형으로 수선 BF = 6을 찾아 60 추가. 답은 (D) 360.