AMC 10 · 2020 · #7
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
탑의 표면은 세 조각으로 자연스레 분해됨: (a) 모든 정육면체의 옆면 네 개씩, (b) 위에서 내려다봤을 때 보이는 윗면, (c) 맨 아래 바닥면 한 개. 도구 #7로 세 부분 문제 분리. 도구 #17 (공간 상상하기)가 (b)의 핵심 통찰 — 위에서 정확히 내려다보면 보이는 윗면은 가장 큰 정육면체의 윗면 7 × 7과 같음 (작은 정육면체들이 아래 정육면체의 일부만 가리고 나머지는 그대로 보임). 도구 #5 (패턴)로 옆넓이 합 4(1² + … + 7²) = 560 정리. 도구 #3으로 보기와 매칭.
한 변의 길이 구하기
부피의 세제곱근이 한 변입니다.
완전 세제곱수의 세제곱근은 정수 — 부피만 보고 s_k = k.
8.EE.A.2Identify Subproblems옆면 넓이 더하기
옆면은 모두 드러납니다.
정육면체 옆넓이 4s², 제곱합 1² + … + 7² = 140.
6.G.A.4Look For A Pattern윗면 넓이 세기
위에서 보면 큰 정사각형 하나입니다.
탑을 위에서 보면 7 × 7 실루엣 — 구멍 없음.
위에서 내려다보면 탑은 구멍 없이 하나의 온전한 정사각형 그림자를 채운다.
▸ 왜?
드러난 모든 윗면 조각은 그 정사각형의 일부이므로, 조각이 정확히 그것을 이룬다.
▸ 왜?
정사각형의 넓이는 한 변을 자기 자신과 곱한 것이므로, 그 그림자는 한 번에 재어진다.
바닥면 더하기
바닥면도 같은 크기입니다.
맨 아래 정육면체만 바닥에 닿음.
3.MD.C.7Identify Subproblems모두 합치기
세 부분을 더합니다.
서로 겹치지 않는 세 영역 — 넓이를 그대로 더하면 됨.
4.MD.A.3Identify Subproblems보기와 맞추기
겉넓이는 658입니다.
일치하는 보기 찾기.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities이 AMC 12 문제는 사실 8학년 세제곱근과 6학년 겉넓이 개념만 알면 풀 수 있어요 — 한 변 길이 1 ∼ 7, 옆면 띠 합 4 · 140 = 560, 위에서 본 실루엣 7 × 7 = 49, 그래서 총 겉넓이 = 560 + 49 + 49 = 658.
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