AMC 10 · 2020 · #11

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-regular-hexagonarea-circlesequilateral-trianglesymmetry-argument identify-subproblemsarea-differencesymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 2인 정육각형이 있습니다. 각 변을 지름으로 하는 반원 여섯 개가 육각형 안쪽으로 볼록하게 들어와 있습니다. 육각형 안에 있으면서 여섯 반원 밖에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt3 - 3\pi$

(B)

$\frac{9\sqrt3}{2} - 2\pi$

(C)

$\frac{3\sqrt3}{2} - \frac{\pi}{3}$

(D)

$3\sqrt3 - \pi$

(E)

$\frac{9\sqrt3}{2} - \pi$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 한 변 2 인 정육각형을 한 변 1 인 정삼각형 24 개로 분할해, 모든 영역(색칠/공백)이 작은 삼각형과 부채꼴의 깔끔한 조합이 되게 함. 도구 #9(더 쉬운 문제): 6-회전 대칭으로 색칠 영역은 합동인 6 조각 — 한 조각을 구하고 6 배. 도구 #7(쪼개기): 각 조각 = (작은 삼각형 2 개로 된 마름모) - (반지름 1의 60° 부채꼴). 도구 #3(가능성 지우기): 정리식 3√(3) - π 와 일치하는 선택지 하나만 매칭.

1STEP 1

육각형을 삼각형으로 나누기

육각형을 작은 정삼각형으로 나눕니다.

정육각형 = 24 개의 한 변 1 정삼각형

2STEP 2

여섯 조각으로 대칭 쓰기

조각 하나만 재면 충분합니다.

색칠 = 6 · (한 조각)

3STEP 3

조각의 정체 밝히기

조각은 마름모 빼기 부채꼴입니다.

한 조각 = (작은 정삼각형 2 개의 마름모) - (60° 부채꼴, 반지름 1)

4STEP 4

두 조각 재기

마름모와 부채꼴을 각각 구합니다.

마름모 = √(3)/2, 부채꼴 = π/6

5STEP 5

여섯 배 하기

조각을 여섯 배 합니다.

색칠 = 6 ( √(3)/2 - π/6 ) = 3√(3) - π

6STEP 6

보기와 맞추기

넓이는 3루트3 빼기 파이입니다.

3√(3) - π → (D)

정답

3√3 - π

정육각형 넓이 = 3√(3)/2 · 4 = 6√(3) ≈ 10.39. 반원 넓이 총합(겹침 포함) = 6 · π/2 = 3π ≈ 9.42 — 흰 부분이 그만큼 크지는 않으므로 겹침 영역이 분명히 존재. 색칠 답 3√(3) - π ≈ 5.196 - 3.14 ≈ 2.06 — 양수이고 정육각형 넓이보다 훨씬 작아 꼭짓점 근처의 작은 슬라이버라는 기하적 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요! 한 변 2 정육각형을 한 변 1 정삼각형 24 개로 자르기. 6-회전 대칭이라 색칠 영역은 꼭짓점 근처 합동 조각 6 개 — 각 조각은 마름모(작은 정삼각형 2 개, 넓이 √(3)/2)에서 반지름 1의 60° 부채꼴(넓이 π/6)을 뺀 모양. 6 배: 6(√(3)/2 - π/6) = 3√(3) - π, 답 (D).