AMC 10 · 2020 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-trianglesisosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형의 한 꼭짓점에서 두 변 위에 같은 거리만큼 떨어진 두 점을 잡아 선분을 긋습니다. 나머지 두 변 위의 두 점에서 그 선분에 수선을 내립니다. 이렇게 생긴 네 영역, 즉 삼각형 하나와 사각형 둘과 오각형 하나의 넓이가 모두 1입니다. 수선의 길이의 제곱을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{3}$

(B)

$8-4\sqrt2$

(C)

$1+\sqrt2$

(D)

$\frac{7}{4}\sqrt2$

(E)

$2\sqrt2$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): AE = AH 의 대칭성으로 A 를 원점에 두고 대각선 AC 를 대칭축으로 사용. 도구 #7(쪼개기): 핵심 관찰 — FI ∥ GJ (둘 다 EH 에 수직) 이므로 FGJI 는 직사각형. 오각형 = 직각삼각형 + 직사각형. 도구 #9(더 쉬운 문제): 대칭으로 CF = CG, FI = GJ 라 미지수가 둘 (c, p) — 두 식으로 풀림. 도구 #8(거리)와 #13(대수)으로 대각선 거리식과 한 줄 빼기로 답 도출.

1STEP 1

한 변의 길이 구하기

넓이가 넷이라 한 변은 2입니다.

s = 2, AE = AH = √(2), EH = 2

2STEP 2

대칭 쓰기

두 사각형이 합동입니다.

CF = CG, FI = GJ

3STEP 3

가운데 조각 알아보기

가운데는 직사각형입니다.

FGJI 는 직사각형, 변 FI 와 IJ

4STEP 4

넓이 방정식 세우기

한 사각형의 넓이가 방정식을 줍니다.

1 = c²/2 + c√(2) · FI

5STEP 5

길이 방정식 세우기

대각선을 따라가면 두 번째 식이 나옵니다.

dist(C, EH) = 2√(2) - 1

6STEP 6

연립해서 풀기

풀면 8 빼기 4루트2입니다.

c + FI √(2) = 4 - √(2)

정답

8-4√2

수치 점검: 8 - 4√(2) ≈ 2.343, FI ≈ 1.531. C 에서 EH 까지 거리 2√(2) - 1 ≈ 1.828 보다 작아야 ✓. c = (4 - √(2)) - FI √(2) ≈ 4 - 1.414 - 2.165 = 0.421, 0 ＜ c ＜ 2 적합 ✓. 오각형 넓이 확인: 0.421²/2 + 0.421 √(2) · 1.531 ≈ 0.089 + 0.912 = 1.001 ✓. 선택지 (B) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 기하만으로 풀려요 — FI ∥ GJ 라 FGJI 가 직사각형이라는 점만 보면, 오각형 넓이 식과 대각선 거리 식의 제곱·차로 FI² = 8 - 4√(2)가 바로 나옵니다.