AMC 10 · 2021 · #10

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesratio-proportionvolume-cylinder identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

거꾸로 세운 원뿔 모양 그릇 두 개에 같은 부피의 액체가 들어 있습니다. 좁은 그릇의 액체 표면은 반지름 3센티미터의 원이고 넓은 그릇은 반지름 6센티미터의 원입니다. 반지름 1센티미터인 똑같은 구슬을 각각 하나씩 떨어뜨려 완전히 가라앉힙니다. 두 그릇에서 액체 높이가 오른 양의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

47:43

(C)

2:1

(D)

40:13

(E)

4:1

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 가장 큰 역할: 두 원뿔이 "엄청 길다"고 가정해 수면 근처를 반지름 3, 6의 원기둥으로 근사. 같은 추가 부피 V_m 이 좁은 원기둥은 V_m / (π · 3²) 만큼, 넓은 원기둥은 V_m / (π · 6²) 만큼 들어 올리므로 비는 36/9 = 4. 도구 #1(그림)로 원뿔 대 원기둥 그림을 또렷이. 도구 #7(쪼개기)로 엄밀화: 같은 초기 부피 조건이 좁은 원뿔 높이를 넓은 원뿔의 4 배로 만들고, 같은 4 배가 상승 비에서 다시 나타남. 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 (E) 확정.

1STEP 1

각 그릇의 모양 쓰기

각 그릇에서 반지름이 높이에 비례합니다.

좁은: r = 3/h_n · h. 넓은: r = 6/h_w · h.

2STEP 2

두 높이 관계 구하기

같은 부피가 높이의 비를 정합니다.

1/3π (3)² h_n = 1/3π (6)² h_w → h_n = 4 h_w

3STEP 3

표면만 보면 틀리는 이유

표면 넓이만 보면 다른 답이 나옵니다.

Δ_n^cyl/Δ_w^cyl = (V_m / (π · 9))/(V_m / (π · 36)) = 36/9 = 4

4STEP 4

부피 증가를 식으로 쓰기

각 그릇의 부피 증가를 식으로 씁니다.

H_n³ - h_n³ = (V_m h_n²)/3π, H_w³ - h_w³ = (V_m h_w²)/12π

5STEP 5

구슬 부피 약분하기

구슬의 부피가 약분됩니다.

Δ_n/Δ_w = (H_n - h_n)/(H_w - h_w) = h_n/h_w = 4

6STEP 6

비 읽기

비는 4 대 1입니다.

Δ_n : Δ_w = 4 : 1 → (E)

정답

4:1

4:1이 자연스러운 이유 두 가지. (a) 원기둥 근사(도구 #9)에서 이미 정확히 4:1이 나옴 — 같은 구슬이 같은 부피를 더하는데, 넓은 테두리는 그 부피를 넓은 면적 위에 펴므로 상승이 작음. 반지름이 두 배면 면적은 제곱으로 네 배 (6²/3² = 4), 따라서 넓은 쪽 상승이 4 배 작음. (b) 같은 부피에서 좁은 원뿔은 네 배 "키가 큼" 이고, 상승은 원래 높이에 비례 — 다시 4:1. 두 논증이 일치, 그리고 답은 구슬의 실제 부피에 무관 — 어떤 작은 물체든 비는 4:1.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 때 배운 부피 공식과 비례 추론만 알면 풀 수 있어요! 같은 액체 부피에 넓은 테두리 — 그러면 좁은 원뿔의 키가 4 배. 같은 구슬을 떨어뜨리면 넓은 테두리는 그 부피를 4 배 넓은 단면에 펴서 상승이 1/4 배. 비 4:1, 답 (E).