AMC 10 · 2021 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangleperpendicular-bisector identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴에서 두 밑변이 평행하고 두 변의 길이가 각각 43입니다. 한 대각선이 한 변에 수직입니다. 두 대각선이 한 점에서 만나고, 그 대각선의 중점까지의 거리가 11입니다. 남은 변의 길이를 정수 곱하기 제곱근 꼴로 쓰고 두 수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

132

(C)

157

(D)

194

(E)

215

풀이 과정

전략 그림 그리기

문장 안에 네 가지 조건 (평행·이등변·수직·중점)이 한꺼번에 들어 있으므로 도구 #1 (그림)으로 정리해야 핵심 직각 △ CPD 가 보입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 토막으로 나눔: (a) 닮음 △ BDA ∼ △ BPC 로 AB 구하기, (b) 대각선 분할비 BO:OD = AB:CD = 2:1과 OP = 11로 BD 구하기, (c) △ ADB 에 피타고라스 정리로 AD 구하기. 도구 #13 (대수)은 (b) 단계의 일차방정식 x/2 = 11을 깔끔하게 처리합니다.

1STEP 1

두 번째 직각 찾기

이등변이라 중점에서 직각이 생깁니다.

CP ⊥ BD, ∠ CPB = 90°

2STEP 2

닮은 삼각형 찾기

두 직각이 닮음을 만듭니다.

△ BDA ∼ △ BPC

3STEP 3

긴 밑변 구하기

닮음비가 긴 밑변을 줍니다.

AB = 2 · 43 = 86

4STEP 4

교점의 위치

평행이 대각선을 일정한 비로 나눕니다.

OP = x/2 (OD = x)

5STEP 5

대각선 길이 구하기

주어진 거리로 대각선을 구합니다.

x = 22, BD = 66

6STEP 6

남은 변 구하기

피타고라스로 남은 변을 구합니다.

AD² = 86² - 66² = 20 · 152 = 3040

7STEP 7

두 수 더하기

정리해 더하면 194입니다.

AD = 4√(190), m + n = 194 → (D)

정답

194

AB = 86, BD = 66 이므로 AD = √(86² - 66²) ≈ √(3040) ≈ 55.1 — 빗변 86 보다 짧은 양의 길이로 다리답습니다. 4√(190) ≈ 4 · 13.78 ≈ 55.1도 일치. 190 = 2 · 5 · 19가 제곱인수 없음을 확인했으므로 형태는 최소 — 답 m + n = 194, (D)가 맞습니다.

💡핵심 정리

이등변 △ BCD 안의 직각 (CP ⊥ BD) 한 가지만 보이면 끝: 닮음비로 AB = 86, 대각선 분할비 BO:OD = 2:1과 OP = 11로 BD = 66, 피타고라스로 AD = 4√(190) — 따라서 m + n = (D) 194.