AMC 10 · 2021 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-trianglesthirty-sixty-ninety-trianglearea-difference identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

오각형과 그 안의 두 점이 열한 개의 선분으로 그려져 있고 모든 선분의 길이가 2입니다. 오각형의 넓이는 두 제곱근의 합으로 쓸 수 있습니다. 근호 안의 두 수를 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기) — 오각형과 11 개 길이-2 선분을 모두 표시. 그러면 네 정삼각형 (△ ABF, △ BCF, △ AGE, △ GDE)이 한눈에 보이고, B 와 E 에서 120° 가 두 인접한 60° 의 합으로 드러납니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 대각선 AC, AD 로 오각형을 세 삼각형 △ ABC, △ AED, △ ACD 로 분할. 각 삼각형은 기초 도형 사실로 따로 계산하고 합치면 끝. 도구 #17 (공간 상상)으로 좌우 대칭을 활용해 △ ABC 만 한 번 계산하면 △ AED 도 같음을 인지.

1STEP 1

정삼각형 찾기

같은 길이가 정삼각형을 만듭니다.

AB = BF = AF = 2 → △ ABF 정삼각형, ∠ ABF = 60°; 나머지 셋도 마찬가지

2STEP 2

각 채우기

두 정삼각형이 만나 120도를 만듭니다.

∠ ABC = 60° + 60° = 120°; ∠ AED = 120°

3STEP 3

삼각형 셋으로 쪼개기

오각형을 세 삼각형으로 나눕니다.

[ABCDE] = [ABC] + [ACD] + [AED]

4STEP 4

첫 삼각형 재기

두 변과 낀 각으로 넓이를 냅니다.

[ABC] = 1/2(2)(2)sin 120° = 2 · √(3)/2 = √(3)

5STEP 5

대칭인 삼각형 재기

대칭인 쪽도 같습니다.

[AED] = √(3)

6STEP 6

대각선 길이 구하기

코사인법칙이 대각선을 줍니다.

AC² = 4 + 4 + 4 = 12, AC = AD = 2√(3)

7STEP 7

가운데 삼각형 재기

이등변이라 높이가 쉽게 나옵니다.

AM = √(12 - 1) = √(11); [ACD] = 1/2(2)(√(11)) = √(11)

8STEP 8

모두 더하기

근호 안의 수를 더하면 23입니다.

[ABCDE] = √(12) + √(11) → m + n = 12 + 11 = 23 → (D)

정답

크기 확인: √(12) ≈ 3.46, √(11) ≈ 3.32 이므로 오각형 넓이 ≈ 6.78. 오각형의 "폭" 은 대략 |BE| ≈ 3 (두 정삼각형 중심의 가로 간격)이고 "높이" 는 대략 2 이므로 넓이 ≈ 7은 자연스러운 범위. 각 귀 삼각형의 넓이 √(3) ≈ 1.73도 변이 2, 2이고 끼인 각이 120° 인 삼각형으로 타당. 답의 형식 √(m) + √(n)이 작은 정수 m, n ≈ 12 인 점도 20–24의 선택지 범위와 일치 — m + n = 23이 정확히 (D).

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요! 대각선 AC, AD 로 오각형을 잘라 — 양쪽 귀 삼각형은 꼭짓각 120° 인 넓이 √(3) 씩, 가운데 이등변삼각형은 수선 √(11), 넓이 √(11). 합 = 2√(3) + √(11) = √(12) + √(11), 그러니 m + n = 23.