AMC 10 · 2021 · #17

학년 9 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-trapezoidquadratic-equationsratio-proportion convert-to-algebraidentify-subproblemsbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-trapezoid

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

등변사다리꼴의 두 밑변이 평행하고 위쪽이 더 짧습니다. 안쪽의 한 점을 네 꼭짓점과 이어 사다리꼴을 네 삼각형으로 나눕니다. 짧은 밑변 위의 삼각형부터 시계 방향으로 넓이가 2, 3, 4, 5입니다. 긴 밑변을 짧은 밑변으로 나눈 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2+\sqrt{2}$

(C)

$1+\sqrt{6}$

(D)

$2\sqrt{3}$

(E)

$3\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기) — 그림에 숫자가 붙어 있는 것은 네 넓이뿐이니, 필요한 것에 이름을 붙입니다. a = AB, b = CD 라 하고, P 에서 CD 까지의 거리를 h₁, AB 까지의 거리를 h₂ 라 둡니다. 도구 #16 (관점 바꾸기) — 쓸모 있는 것은 평행한 두 밑변 위에 놓인 삼각형입니다. 각각 밑변이 우리가 모르는 두 길이 중 하나이고 높이가 h₁, h₂ 중 하나이기 때문입니다. 기울어진 두 삼각형은 밑변도 높이도 깔끔하지 않으니 하나씩 쫓지 말고, 전체 넓이 14를 통해서만 씁니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 식을 닫아 주는 연결고리를 줍니다: h₁ + h₂가 정확히 사다리꼴의 높이입니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)은 세 개의 넓이 사실을 a 와 b 에 대한 하나의 방정식으로 바꿉니다. 이어서 도구 #15 (다르게 정리하기)로 그 식을 실제로 묻는 양 r = a/b 하나로 다시 쓰고, 도구 #3 (가능성 지우기)로 AB ＞ CD 를 어기는 근을 버립니다.

1STEP 1

네 넓이 표시하기

네 넓이를 그림에 표시합니다.

[PCD] = 2, [PBC] = 3, [PAB] = 4, [PDA] = 5 이므로 [ABCD] = 2+3+4+5 = 14

2STEP 2

밑변과 높이에 이름 붙이기

두 밑변과 두 높이에 이름을 붙입니다.

a = AB, b = CD, r = a/b; h₁ = dist(P, CD), h₂ = dist(P, AB)

3STEP 3

밑변 삼각형을 높이 식으로

두 삼각형이 높이를 줍니다.

1/2 b h₁ = 2 → h₁ = 4/b, 그리고 1/2 a h₂ = 4 → h₂ = 8/a

4STEP 4

두 높이가 전체를 채운다

두 높이를 더하면 전체 높이입니다.

h₁ + h₂ = h, 즉 4/b + 8/a = h

5STEP 5

전체 넓이로 높이 구하기

전체 넓이가 높이를 한 번 더 줍니다.

1/2(a+b)h = 14 → h = 28/(a+b)

6STEP 6

두 식을 같게 놓기

두 식을 같게 놓아 방정식을 만듭니다.

4/b + 8/a = 28/(a+b) → 4a(a+b) + 8b(a+b) = 28ab → 4a² + 12ab + 8b² = 28ab → a² - 4ab + 2b² = 0

7STEP 7

비로 다시 쓰기

비 하나만 남게 정리합니다.

a²/b² - 4 a/b + 2 = 0, r = a/b 라 두면 r² - 4r + 2 = 0

8STEP 8

이차방정식 풀기

이차방정식을 풉니다.

r = (4 ± √(16 - 8))/2 = (4 ± 2√(2))/2 = 2 ± √(2)

9STEP 9

불가능한 근 버리기

남는 값은 2 더하기 루트2입니다.

2 - √(2) ≈ 0.586 ＜ 1 (버림); r = AB/CD = 2 + √(2) ≈ 3.414 → (B)

정답

2+√(2)

사다리꼴을 실제로 만들어 네 넓이를 모두 확인합니다. b = CD = 1, a = AB = 2 + √(2)로 두면 h₁ = 4/b = 4이고 h₂ = 8/a = 8/(2+√(2)) = (8(2-√(2)))/2 = 8 - 4√(2) 이므로 h = h₁ + h₂ = 12 - 4√(2) ≈ 6.343입니다. 그러면 사다리꼴의 넓이는 1/2(a+b)h = 1/2(3+√(2))(12-4√(2)) = 1/2(36 - 8) = 14로 2+3+4+5와 일치합니다. A = (-a/2, 0), B = (a/2, 0), D = (-b/2, h), C = (b/2, h)로 두면 진짜 등변사다리꼴이 되고, P 를 높이 h₂ ≈ 2.343에 놓습니다. P 를 좌우로 옮겨도 [PCD] = 2와 [PAB] = 4는 그대로이고 (높이가 변하지 않으므로), 합이 14 - 6 = 8로 고정된 두 옆 삼각형 사이에서만 넓이가 오갑니다. x ≈ 0.315 에서 그 분배가 정확히 3과 5가 되고, 그 P 는 사다리꼴 내부에 있습니다. 즉 실제로 존재하는 배치입니다. 크기 감각으로도 맞습니다: 2 + √(2) ≈ 3.414는 긴 밑변이 짧은 밑변의 3 배와 4 배 사이라는 뜻이고, 아래 삼각형 넓이가 위 삼각형의 두 배인데 높이는 훨씬 작은 그림과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

재어 볼 가치가 있는 것은 평행한 두 밑변 위에 놓인 삼각형뿐입니다. 각각의 넓이가 점에서 그 밑변까지의 거리를 알려 주고, 그 두 거리를 더하면 사다리꼴의 높이입니다. 이것을 사다리꼴 자체의 넓이 공식과 맞붙이면 a² - 4ab + 2b² = 0이 나오고, b²으로 나눈 뒤 r² - 4r + 2 = 0의 두 근 중 1 보다 큰 쪽, 즉 2+√(2)가 답입니다.

그림에 네 넓이 표시하기
밑변과 두 높이에 이름 붙이기
밑변 위 삼각형을 높이 식으로 바꾸기
두 높이가 사다리꼴을 채운다
전체 넓이로 h 를 한 번 더 구하기
h 에 대한 두 식을 같다고 놓기
비 r = a/b로 다시 쓰기
이차방정식 풀기
불가능한 근 버리기