AMC 10 · 2021 · #14
학년 10 geometry-2d
답을 골라 클릭하세요.
뾰족뾰족한 육각형에는 넓이 공식이 없지만, 뾰족한 세 꼭짓점이 바로 잘라 낼 지점이다. 무딘 세 꼭짓점을 이으면 육각형이 네 조각으로 갈라진다. 두 변이 공통 길이이고 그 사이 각이 30°인 모서리 삼각형 세 개와, 가운데 삼각형 하나다. 모서리 삼각형 세 개는 합동일 수밖에 없고, 그 결과 가운데 삼각형은 정삼각형이 된다. 따라서 모든 조각의 넓이가 미지수인 변 하나로 표현되고, 네 넓이를 더하면 미지수 하나짜리 방정식이 나와 주어진 넓이로 풀린다.
변의 길이에 이름 붙이기
변의 길이에 이름을 붙입니다.
변이 모두 같으니 미지수 하나가 도형 전체를 떠받친다. s만 찾으면 끝난다.
6.EE.B.6Introduce A Variable뾰족한 세 모서리 잘라 내기
세 뾰족한 모서리를 잘라 냅니다.
직선 세 번만 그으면 다루기 힘든 뾰족한 도형이 평범한 삼각형 네 개가 된다.
6.G.A.1Draw A Diagram가운데 삼각형은 정삼각형
가운데가 정삼각형이 됩니다.
두 변과 그 사이 각이 같으면 같은 삼각형이므로 세 번의 자른 자리 길이가 똑같이 나온다.
같은 두 변에 같은 사이 각이면 나머지 변도 같으므로, 세 번의 자름이 같은 길이로 나온다.
▸ 왜?
두 변과 낀 각을 알면 나머지 변은 그 셋만으로 정해진다.
▸ 왜?
변이 같으면 밑각도 같아지므로, 잘라 낸 각 삼각형은 자기 자신의 거울상이다.
모서리 삼각형 하나의 넓이
모서리 삼각형 하나의 넓이를 구합니다.
30°로 벌어진 각은 높이를 빗변의 정확히 절반으로 만들어 주므로 모서리 넓이는 곧바로 나온다.
10.G-SRT.C.8Identify Subproblems가운데 삼각형 변의 제곱 구하기
가운데 삼각형의 변을 제곱해 구합니다.
높이를 준 그 수선이 자른 자리 위에서 직각삼각형까지 닫아 주므로 그림 하나가 두 번 일한다.
8.G.B.7Identify Subproblems가운데 삼각형의 넓이
가운데 삼각형의 넓이를 구합니다.
정삼각형 넓이 공식은 변의 제곱만 필요로 하는데, 그것이 바로 앞 단계의 결과다.
7.G.B.6Identify Subproblems조각을 더해서 풀기
조각을 더해 풀면 둘레는 12루트3입니다.
지저분한 3/4 조각이 상쇄되어 넓이가 s²의 상수배로만 남으니 식 하나로 끝난다.
9.A-CED.A.1Convert To Algebra육각형의 뾰족한 세 모서리를 잘라 내면 그 셋은 합동이고 가운데에 남는 것은 정삼각형이며, 네 넓이의 합이 √(3)/2s²이므로 주어진 넓이 하나로 변의 길이가 결정된다.
- 변의 길이에 이름 붙이기
- 뾰족한 세 모서리 잘라 내기
- 가운데 삼각형은 정삼각형
- 모서리 삼각형 하나의 넓이
- 가운데 삼각형 변의 제곱 구하기
- 가운데 삼각형의 넓이
- 조각을 더해서 풀기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
