AMC 10 · 2021 · #21
학년 8 geometry-2d
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도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 문을 엽니다. 대각선 AC가 사다리꼴을 △ ABC 와 △ ACD 로 나누는데, 문제가 준 두 수선이 바로 그 두 삼각형의 공통 밑변 AC에 대한 높이입니다. 그래서 넓이는 1/2(AC)(BY) + 1/2(AC)(DX)이고, 모든 것이 두 높이 문제로 줄어듭니다. 도구 #1(그림 그리기)이 두 번째 사실을 줍니다. 평행한 두 변 때문에 직각삼각형 CYB 와 AXD 가 닮음이 되고, 두 높이의 비가 고정됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 높이에 이름을 붙이고, 이어서 높이의 제곱을 변수 u 하나로 바꾸면 지저분한 식이 일차식이 됩니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 피타고라스 정리로 AB = CD 를 식으로 옮깁니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 마무리입니다. 넓이에 필요한 것은 두 높이의 합 뿐이므로, 각 높이를 따로 캐내지 말고 합을 제곱합니다 — 그러면 지저분한 근호가 아예 나타나지 않습니다.
대각선을 따라 사다리꼴 자르기
대각선을 따라 두 조각으로 자릅니다.
그림 속 두 수선은 장식이 아니라 대각선이 만든 두 조각의 높이이고, 전체 넓이는 그 합의 3 배일 뿐입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems평행한 두 변이 닮은 직각삼각형을 만든다
평행한 변이 닮은 삼각형을 만듭니다.
두 변이 평행하면 대각선이 두 변에서 같은 각도로 기울어지므로, 대각선에 매달린 두 직각삼각형은 크기만 다른 같은 모양입니다.
평행한 두 변 덕분에 대각선이 각각에서 같은 각으로 기울므로, 두 직각삼각형의 모양이 같다.
▸ 왜?
두 평행선을 가로지르는 직선은 두 교차점에 서로 대응하는 같은 각을 만든다.
▸ 왜?
각이 같은 삼각형은 대응하는 모든 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
두 다리에 각각 피타고라스
두 다리에 피타고라스를 씁니다.
각 수선은 사다리꼴의 다리를 이미 아는 두 변짜리 직각삼각형의 빗변으로 떼어냅니다.
8.G.B.7Convert To Algebra등변 조건을 현금화하기
등변 조건이 방정식을 줍니다.
"두 다리가 같다"는 아직 쓰지 않은 마지막 조건이고, 그림의 크기를 정하는 데 필요한 딱 하나의 식입니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable각각이 아니라 합을 쫓기
각각이 아니라 합을 쫓습니다.
높이를 하나씩 구하는 대신 합을 물으면 계산이 제곱 위에 머물러 숫자가 깔끔하게 남습니다.
8.EE.A.2Change Focus Count The Complement넓이 조립하기
넓이를 조립하면 3루트35입니다.
이 모든 추격은 결국 p + q 라는 수 하나를 위한 것이었고, 거기에 3을 곱하면 끝입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems대각선을 따라 사다리꼴을 자르면 주어진 두 수선이 그대로 두 조각의 높이가 되어 넓이가 3(p+q)가 되고, 평행한 두 변이 p = 3/2q 를, 같은 두 다리가 q² = 28/5를 강제하며, 합을 제곱하면 (p+q)² = 35 이므로 넓이는 3√(35) — 지저분한 근호 정리는 전혀 필요 없습니다.
- 대각선을 따라 사다리꼴 자르기
- 평행한 두 변이 닮은 직각삼각형을 만든다
- 두 다리에 각각 피타고라스
- 등변 조건을 현금화하기
- 각각이 아니라 합을 쫓기
- 넓이 조립하기
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