AMC 10 · 2021 · #15

학년 10 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

rotation-isometrythirty-sixty-ninety-trianglearea-trianglestransformations-composition symmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesrotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 6인 똑같은 정사각형 종이 세 장을 중심이 겹치게 쌓습니다. 가운데 장은 30도, 맨 위 장은 60도 돌립니다. 적어도 한 장이 덮는 영역은 24각형이 됩니다. 그 넓이를 정수 빼기 정수 곱하기 제곱근 꼴로 쓰고 세 정수를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

129

(E)

147

풀이 과정

전략 공간 상상하기

24각형이라고 하면 24번 재야 할 것 같지만, 돌린 각도 안에 지름길이 숨어 있다. 정사각형은 90도 돌려도 그대로이므로, 그림 전체를 30° 더 돌리면 0° 장은 30°로, 30° 장은 60°로, 60° 장은 90° 즉 다시 0° 장으로 간다. 그림이 자기 자신에 정확히 포개진다. 그래서 24각형은 30°마다 반복되고, 중심에서 24개의 변으로 선을 그으면 똑같은 삼각형 24개로 잘린다. 그러면 삼각형 하나만 재면 된다. 게다가 각 삼각형의 밑변은 어떤 정사각형의 변 위에 놓이고, 중심에서 어느 정사각형 변까지의 거리든 항상 3이므로 높이는 공짜로 얻고 밑변 길이만 구하면 된다.

1STEP 1

중심과 두 거리를 확정하기

중심에서의 두 거리를 확정합니다.

d(O, 변) = 6/2 = 3, d(O, 꼭짓점) = √(3² + 3²) = 3√(2)

2STEP 2

그림은 30도마다 반복된다

그림이 30도마다 반복됩니다.

{0°, 30°, 60°} → {30°, 60°, 90°} = {30°, 60°, 0°}

3STEP 3

24각형을 똑같은 삼각형 24개로 자르기

24각형을 똑같은 삼각형으로 자릅니다.

[24각형] = 24 · 1/2 · s · 3 = 36s

4STEP 4

다음 정사각형이 변을 자르는 점 찾기

다음 정사각형이 변을 자르는 점을 찾습니다.

∠ MOX = 60°/2 = 30°, MX = OM tan 30° = 3 · 1/√(3) = √(3)

5STEP 5

삼각형 하나, 그리고 24개

삼각형 하나를 재고 24배 합니다.

s = 3 - √(3), [24각형] = 24 · 1/2(3-√(3))(3) = 36(3-√(3)) = 108 - 36√(3)

6STEP 6

a, b, c 읽어내기

세 수를 읽어 더하면 147입니다.

a = 108, b = 36, c = 3 → a + b + c = 147

정답

147

크기를 확인해 보자. 108 - 36√(3) ≈ 108 - 62.35 = 45.65이다. 종이 한 장만 해도 36을 덮으므로 합집합은 36보다 커야 하고, 12개 꼭짓점이 중심에서 3√(2) 떨어져 만드는 정12각형의 넓이 3(3√(2))² = 54보다는 작아야 한다. 45.65는 36과 54 사이에 알맞게 들어간다. 조각들도 들어맞는다. 24각형의 한 변은 3 - √(3) ≈ 1.27이고 24개를 더하면 둘레가 약 30.4로, 이 정도 크기의 거의 둥근 도형에 어울리는 값이다. 마지막으로 두 종류의 꼭짓점 위치도 맞다. 정사각형 꼭짓점은 중심에서 3√(2) ≈ 4.24, 교점은 √((√(3))² + 3²) = 2√(3) ≈ 3.46 떨어져 12개씩 번갈아 놓여 모두 24개가 된다. 따라서 a + b + c = 147, 선택지 (E)이다.

💡핵심 정리

어떤 각도로 돌려도 그림이 똑같아 보인다면, 조각 하나만 재고 곱하면 된다. 나머지 조각은 모두 그것의 복사본이기 때문이다.

중심과 두 거리를 확정하기
그림은 30도마다 반복된다
24각형을 똑같은 삼각형 24개로 자르기
다음 정사각형이 변을 자르는 점 찾기
삼각형 하나, 그리고 24개
a, b, c 읽어내기