AMC 10 · 2022 · #3
학년 6 geometry-2d
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어느 직사각형이 어디에 놓이는지 하나씩 쫓으면 네 자리를 한꺼번에 추측해야 하고, 게다가 그림이 비율대로 그려지지 않아 아무 힌트도 주지 않는다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 질문을 뒤집는다. 가운데 직사각형을 직접 찾는 대신, 테두리에 놓인 네 직사각형이 써 버린 양을 재고 남는 것을 가운데 것으로 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 개의 쉬운 셈으로 나눈다. 하나는 전체 넓이로 한 변의 길이를 구하는 것이고, 다른 하나는 모든 가로와 세로의 합을 구하는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자른 위치에 문자를 붙이면, 그 합이 선의 위치와 상관없이 항상 같다는 것을 보일 수 있다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 후보를 그 남은 값과 대조하면 단 하나만 살아남는다.
다섯 넓이 더하기
넓이를 모두 더해 크기를 구합니다.
어떤 도형을 빈틈없이 채우는 조각들의 넓이는 반드시 그 도형 전체의 넓이로 더해진다.
어떤 도형을 정확히 채우는 조각들은 넓이를 더하면 그 도형 전체의 넓이가 되어야 한다.
▸ 왜?
그 도형은 조각을 모은 것 그대로이며, 틈도 겹침도 없다.
▸ 왜?
정사각형의 넓이는 한 변을 자기 자신과 곱한 것이므로, 그 합이 한 변을 곧바로 내준다.
넓이에서 한 변 구하기
제곱근이 한 변을 줍니다.
정사각형은 넓이만 알면 한 변이 나온다. 자기 자신과 곱해서 그 넓이가 되는 수가 바로 한 변이기 때문이다.
4.MD.A.3Introduce A Variable네 변 읽어내기
모퉁이 직사각형이 둘레를 채웁니다.
모서리 직사각형들의 여덟 변은 정사각형 테두리가 잘린 여덟 조각 그 자체이므로, 더하면 테두리 길이가 될 수밖에 없다.
3.MD.D.8Change Focus Count The Complement문자로 총합 확인하기
문자로 써 보면 총합이 맞습니다.
자른 위치들이 서로 짝을 이루어 모두 지워지므로, 그림이 비율대로가 아니어도 손해 볼 것이 없다.
6.EE.A.2Introduce A Variable남은 값과 맞추기
남는 값과 맞는 것은 2 곱하기 4짜리입니다.
테두리 직사각형들이 정해진 몫 32를 쓰고 남은 것은 가운데 직사각형의 몫일 수밖에 없다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities테두리에 놓인 네 직사각형의 가로와 세로는 정사각형 둘레가 잘린 조각 그 자체라 항상 32로 더해진다 — 전체 합 38에서 그것을 빼면, 가운데 직사각형은 가로와 세로의 합이 6인 것일 수밖에 없다.
- 다섯 넓이를 더하기
- 넓이에서 한 변의 길이 구하기
- 정사각형의 네 변을 읽어내기
- 문자로 총합 확인하기
- 빼서 남은 값과 맞춰보기